Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(4x² + 6x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 6x) − 2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(2x² + 5). Знайдіть f′(3).

f(x) = ln(2x² + 5)x = 3

f′(3) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 6x² + 4. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 6x² + 4

x =

5.ОптимізаціяСередня

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 330 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть радіус r, за якого витрата матеріалу найменша.

V = 330 cm³

r = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 180 − 0,5q євро за одиницю, а витрати C(q) = 800 + 90q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 180 − 0,5qC = 800 + 90q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 4 − x² і віссю x.

y = 4 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 6x/(√(4x² + 6x) + 2x)

Поділіть на x

f(x) = 6/(√(4 + 6/x) + 2)

Нехай x → ∞

L = 6/(2 + 2) = 1,5

Відповідь

L = 1,5

2.Границі

Відповідь: L = 4,5

Перше застосування

3·sin 3x/(2x) → 0/0

Друге застосування

9·cos 3x/2

Підставте x = 0

L = 9/2 = 4,5

Відповідь

L = 4,5

3.Похідні

Відповідь: f′(3) = 0,5217

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

Підставте

f′(3) = 12/23 = 0,5217

Відповідь

f′(3) = 0,5217

4.Похідні

Відповідь: x = 4

Похідна

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 0 або x = 4

Що є що

f″(x) = 6x − 12: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

Відповідь

x = 4

5.Оптимізація

Відповідь: r = 3,745 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Висота й площа

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm

A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Відповідь

r = 3,745 cm

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: q = 90 од.

Функція прибутку

P(q) = (180 − 0,5q)·q − (800 + 90q) = −0,5q² + 90q − 800

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −1 < 0, тож це максимум.

q = 90/1 = 90

Ціна й прибуток

p = 180 − 0,5·90 = €135

P = 90·90 − 0,5·90² − 800 = €3250

Відповідь

q = 90

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,718

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^x/1

Підставте межі

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Відповідь

I = 1,718

8.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Нулі

4 − x² = 0 → x = ±2

Інтегруйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Відповідь

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1