Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (2x³ − 5x − 1)/(x³ + 5x + 3).

f(x) = (2x³ − 5x − 1)/(x³ + 5x + 3)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (3x − 3)⁵. Знайдіть f′(0).

f(x) = (3x − 3)⁵x = 0

f′(0) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 3x + 5. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 3x + 5

x =

5.ОптимізаціяСередня

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 400 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть радіус r, за якого витрата матеріалу найменша.

V = 400 cm³

r = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 160 − 0,25q євро за одиницю, а витрати C(q) = 5400 + 65q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 160 − 0,25qC = 5400 + 65q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Область під y = x від x = 0 до x = 2 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = x0 ≤ x ≤ 2

V =

8.ІнтегралиСкладна

Обчисліть I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 2

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(2 + (−5)/x² + (−1)/x³)/(1 + 5/x² + 3/x³)

Нехай x → ∞

L = 2/1 = 2

Відповідь

L = 2

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 12,5

Перше застосування

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Друге застосування

25·cos 5x/2

Підставте x = 0

L = 25/2 = 12,5

Відповідь

L = 12,5

3.Похідні

Відповідь: f′(0) = 1215

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 5·(3x − 3)⁴·3

Підставте

f′(0) = 5·(−3)⁴·3 = 1215

Відповідь

f′(0) = 1215

4.Похідні

Відповідь: x = −1

Похідна

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −1 або x = 1

Що є що

f″(x) = 6x: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Відповідь

x = −1

5.Оптимізація

Відповідь: r = 3,993 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Висота й площа

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm

A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Відповідь

r = 3,993 cm

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: q = 190 од.

Функція прибутку

P(q) = (160 − 0,25q)·q − (5400 + 65q) = −0,25q² + 95q − 5400

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,5 < 0, тож це максимум.

q = 95/0,5 = 190

Ціна й прибуток

p = 160 − 0,25·190 = €112,5

P = 95·190 − 0,25·190² − 5400 = €3625

Відповідь

q = 190

7.Інтеграли

Відповідь: V = 8,378

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀² 1x² dx

Інтегруйте

V = π·1·2³/3 = 8,378

Відповідь

V = 8,378

Перевірка: конус радіуса 2 і висоти 2 має (1/3)πr²h = 8,378.

8.Інтеграли

Відповідь: I = 12,78

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Відповідь

I = 12,78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1