Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градієнт: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Ланцюгове правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест другої похідної: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярні координати: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (f_x, f_y) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
Для екстремумів розв’яжіть f_x = 0 і f_y = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x у радіанах).

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

2.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = 4x.

y = 2x²y = 4x

A =

3.Послідовності та рядиСередня

Знайдіть суму S = Σ_k=1³⁰ 12/(k(k + 1)).

a_k = 12/(k(k + 1))n = 30

S =

4.Послідовності та рядиСкладна

Впізнайте ряд і знайдіть його суму: S = Σ_k=0^∞ 2ᵏ/k!.

a_k = 2ᵏ/k!

S =

5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня

z = x²y² + 5x³ − 3y² + xy, де x = −t + 1 і y = −2t². Скористайтеся правилом ланцюга, щоб знайти dz/dt за t = 1.

z = x²y² + 5x³ − 3y² + xyx = −t + 1y = −2t²t = 1

dz/dt =

6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна

Інтеграл I = ∫₀^0,8 ∫_y^0,8 e^x² dx dy не можна обчислити в такому порядку. Змініть порядок інтегрування й обчисліть його.

f = e^x²0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8

I =

7.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 84 °C залишили в кімнаті з температурою 18 °C. Через 9 min її температура становить 60 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 84 °CT_a = 18 °CT(9) = 60 °C

k = min⁻¹

8.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + 0,5y = 5e^−2t при y(0) = 2. Знайдіть y(0,5).

y′ + 0,5y = 5e^−2ty(0) = 2

y(0.5) =

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = 1

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первісна

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Границі

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

Відповідь

I = 1

2.Інтеграли

Відповідь: A = 2,667

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Відповідь

A = 2,667

3.Послідовності та ряди

Відповідь: S = 11,61

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

12/(k(k + 1)) = 12·(1/k − 1/(k + 1))

Скасувати

S = 12·(1 − 1/31) = 11,61

Відповідь

S = 11,61

4.Послідовності та ряди

Відповідь: S = 7,389

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Стандартні ряди

Σ xᵏ/k! = eˣ

Підставте

x = 2

S = e² = 7,389

Відповідь

S = 7,389

5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: dz/dt = −46

Градієнт: ∇f = (f_x, f_y) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює D_uf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Точка і швидкості

x(1) = 0, y(1) = −2

dx/dt = −1, dy/dt = −4t = −4

Частинні похідні

f_x = 2xy² + 15x² + y = −2

f_y = 2x²y − 6y + x = 12

Ланцюгове правило

dz/dt = (−2)·(−1) + 12·(−4) = −46

Відповідь

dz/dt = −46

6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: I = 0,4482

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має f_x = f_y = 0. Тест другої похідної з D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 і f_xx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і f_xx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Область

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 0,8

Змінений порядок

I = ∫₀^0,8 ∫₀^x e^x² dy dx = ∫₀^0,8 x·e^x² dx

Підстановка u = x²

I = [e^x²/2]₀^0,8 = 0,4482

Відповідь

I = 0,4482

7.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,05022 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−9k = 42/66

Розв’яжіть щодо k

k = ln(66/42)/9 = 0,05022 min⁻¹

Відповідь

k = 0,05022 min⁻¹

8.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(0.5) = 2,927

Інтегрувальний множник

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 5e^−1,5t

Загальний розв’язок

y = 5/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −3,333·e^−2t + C·e^−0,5t

Початкова умова

2 = −3,333 + C → C = 5,333

Обчисліть

y(0,5) = −3,333·0,3679 + 5,333·0,7788 = 2,927

Відповідь

y(0,5) = 2,927

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2