Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Обчисліть I = ∫03 e0,5x dx.
Обчисліть I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.
Рівно один із чотирьох рядів розбігається. Клікніть його.
Впізнайте ряд і знайдіть його суму: S = Σk=1∞ (−1)k+1·0,5ᵏ/k.
Для f(x, y) = sin(2x − 2y) знайдіть похідну за напрямом Duf у точці P(1, 2) у напрямку до Q(2, −2).
Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R e−(x² + y²) dA, де R — кільце 0,25 ≤ x² + y² ≤ 1.
Чашку кави температурою 81 °C залишили в кімнаті з температурою 20 °C. Через 27 min її температура становить 36 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
Розв’яжіть y′ + 0,5y = 7e−2t при y(0) = 5. Знайдіть y(0,5).
Відповідь: I = 6,963
Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.
Відповідь: I = 37,59
Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.
Відповідь: D: Σ ln k / k
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Відповідь: S = 0,4055
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Відповідь: Duf = −1,009
Градієнт: ∇f = (fx, fy) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює Duf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Відповідь: I = 1,291
Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має fx = fy = 0. Тест другої похідної з D = fxxfyy − fxy²: D > 0 і fxx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і fxx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).
Відповідь: k = 0,04957 min⁻¹
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Відповідь: y(0.5) = 5,812
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2