Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

  1. Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
  2. Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
  3. Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
  4. Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градієнт
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Ланцюгове правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест другої похідної
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярні координати
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

  1. Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
  2. Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (fx, fy) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
  3. Для екстремумів розв’яжіть fx = 0 і fy = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = fxx·fyy − fxy².
  4. Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня
xy02

Обчисліть I = ∫02 ex dx.

f(x) = ex[0, 2]
I =
2.ІнтегралиСкладна
xy−11

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²
A =
3.Послідовності та рядиСередня
xx₀ = 0??R

Знайдіть радіус збіжності R степеневого ряду Σk=1∞ k²·2ᵏ·xᵏ.

Σ k²·2ᵏ·xᵏx₀ = 0
R =
4.Послідовності та рядиСкладна

Функцію f(x) = eˣ наближено в точці x = 1 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 3 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁶.

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня
xy−1−1P

Дотичну площину до z = −xy² + 2x³ + y² + 3xy у точці, де (x, y) = (−1, −1), можна записати як z = px + qy + c. Знайдіть c.

f(x, y) = −xy² + 2x³ + y² + 3xy(a, b) = (−1, −1)
c =
6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна
xy−202−202ABC

Позначені точки — критичні точки f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. Клікніть сідлову точку.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
  1. 1A (0, 0)
  2. 2B (−2, −2)
  3. 3C (2, 2)
7.Диференціальні рівнянняСередня
t (min)T (°C)59Ta​T = ?

Кувану сталеву деталь температурою 420 °C залишили остигати в цеху з температурою 25 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,05 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 59 min.

T0 = 420 °CTa = 25 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 59 min
T = °C
8.Диференціальні рівнянняСкладна
t (min)m (kg)t = ?24 kg

Бак містить 500 L води, у якій розчинено 20 kg солі. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 5 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 24 kg солі?

V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
t = min

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = 6,389

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = ex/1

Підставте межі

I = (e2 − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Відповідь

I = 6,389
2.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333
3.Послідовності та ряди

Відповідь: R = 0,5

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Коефіцієнти

ck/ck+1 = (1/2)·(k/(k + 1))² → 1/2

Радіус

R = 0,5

Відповідь

R = 0,5

Ознака Даламбера нічого не каже в двох кінцевих точках; їх треба перевіряти окремо.

4.Послідовності та ряди

Відповідь: n = 9

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

n(n + 1)!оцінка013121,5260,53240,12541200,02557200,004167650400,00059527403207,44 × 10⁻⁵83628808,267 × 10⁻⁶936288008,267 × 10⁻⁷

Оцінки для зростаючого n

n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 8,267 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Найменший степінь

n = 9

Відповідь

n = 9
5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: c = −2

Градієнт: ∇f = (fx, fy) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює Duf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Значення і нахили в точці

f(−1, −1) = 3
fx = −y² + 6x² + 3y → fx(−1, −1) = 2
fy = −2xy + 2y + 3x → fy(−1, −1) = −7

Дотична площина

z = 3 + 2(x + 1) − 7(y + 1)
z = 2x − 7y − 2

Сталий член

c = −2

Відповідь

c = −2
6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: A (0, 0)

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має fx = fy = 0. Тест другої похідної з D = fxxfyy − fxy²: D > 0 і fxx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і fxx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Критичні точки

Розв’яжіть fx = 0 і fy = 0 разом.

fx = 4x³ − 16y = 0
fy = 4y³ − 16x = 0
(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

Тест другої похідної

(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −16, D = −256 → сідлова точка
(2, 2): fxx = 48, fyy = 48, fxy = −16, D = 2048 → локальний мінімум
(−2, −2): fxx = 48, fyy = 48, fxy = −16, D = 2048 → локальний мінімум

Точка

A (0, 0): сідлова точка

Відповідь

A (0, 0)
7.Диференціальні рівняння

Відповідь: T = 45,67 °C

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Розв’язок закону охолодження

T(t) = 25 + 395·e−0,05t

Підставте t

T(59) = 25 + 395·0,05234 = 45,67 °C

Відповідь

T = 45,67 °C
8.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 160,9 min

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Результат

m(t) = 25 + (−5)·e−t/100

Розв’яжіть щодо t

e−t/100 = (25 − 24)/(25 − 20) = 0,2
t = 100·ln(5) = 160,9 min

Відповідь

t = 160,9 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2