Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

  1. Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
  2. Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
  3. Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
  4. Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градієнт
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Ланцюгове правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест другої похідної
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярні координати
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

  1. Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
  2. Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (fx, fy) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
  3. Для екстремумів розв’яжіть fx = 0 і fy = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = fxx·fyy − fxy².
  4. Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня
xy28

Обчисліть I = ∫28 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 8]
I =
2.ІнтегралиСкладна
xy−11

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²
A =
3.Послідовності та рядиСередня
kSn​12345678910

Знайдіть суму S = Σk=116 3/(k(k + 1)).

ak = 3/(k(k + 1))n = 16
S =
4.Послідовності та рядиСкладна

Знайдіть коефіцієнт c₃ при (x − 2)³ у ряді Тейлора функції f(x) = e−x у точці a = 2.

f(x) = e−xa = 2k = 3
c₃ =
5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня

z = 2xy − 2x² − y³, де x = t і y = −2t². Скористайтеся правилом ланцюга, щоб знайти dz/dt за t = 2.

z = 2xy − 2x² − y³x = ty = −2t²t = 2
dz/dt =
6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна
xy−202−20(2, −2)(−2, −2)

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y має критичну точку в (2, −2). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4yP = (2, −2)
D =
7.Диференціальні рівнянняСередня
t (min)T (°C)8Ta​12 °C9 °C

Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 29 °C. Через 8 min її температура становить 12 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 9 °C?

T0 = 3 °CTa = 29 °CT(8) = 12 °CT = 9 °C
t = min
8.Диференціальні рівнянняСкладна
t (min)m (kg)75 minm = ?

Бак містить 400 L чистої води. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 75 min?

V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = 4,159

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159

Відповідь

I = 4,159
2.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333
3.Послідовності та ряди

Відповідь: S = 2,824

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

3/(k(k + 1)) = 3·(1/k − 1/(k + 1))

Скасувати

S = 3·(1 − 1/17) = 2,824

Відповідь

S = 2,824
4.Послідовності та ряди

Відповідь: c₃ = −0,02256

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Похідна f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = (−1)³·e−x

Коефіцієнт

c₃ = (−1)³·e−2/3! = −0,02256
c₃ = −0,02256

Відповідь

c₃ = −0,02256
5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: dz/dt = 1480

Градієнт: ∇f = (fx, fy) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює Duf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Точка і швидкості

x(2) = 2, y(2) = −8
dx/dt = 1, dy/dt = −4t = −8

Частинні похідні

fx = 2y − 4x = −24
fy = 2x − 3y² = −188

Ланцюгове правило

dz/dt = (−24)·1 + (−188)·(−8) = 1480

Відповідь

dz/dt = 1480
6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: D = 24

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має fx = fy = 0. Тест другої похідної з D = fxxfyy − fxy²: D > 0 і fxx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і fxx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Другі похідні

fxx = −12, fyy = −2, fxy = 0

Дискримінант

D = (−12)·(−2) − 0² = 24
→ локальний максимум

Відповідь

D = 24
7.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 4,94 min

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Стала охолодження

k = ln(-26/-17)/8 = 0,05311 min⁻¹

Час до досягнення цільової температури

t = ln(-26/(−20))/0,05311 = 4,94 min

Відповідь

t = 4,94 min
8.Диференціальні рівняння

Відповідь: m = 10,55 kg

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Складіть рівняння

dm/dt = 4·0,05 − (4/400)·m = 0,2 − 0,01·m

Розв’яжіть

Інтегрувальний множник ert/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.

m(t) = 20 + (−20)·e−t/100

Підставте t

m(75) = 20 + (−20)·0,4724 = 10,55 kg

Відповідь

m = 10,55 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2