Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

  1. Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
  2. Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
  3. Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
  4. Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градієнт
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Ланцюгове правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест другої похідної
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярні координати
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

  1. Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
  2. Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (fx, fy) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
  3. Для екстремумів розв’яжіть fx = 0 і fy = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = fxx·fyy − fxy².
  4. Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня
xy24

Обчисліть I = ∫24 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 4]
I =
2.ІнтегралиСкладна
xy−33

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²
A =
3.Послідовності та рядиСередня
xx₀ = 3??R

Знайдіть радіус збіжності R степеневого ряду Σk=1∞ 3ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1).

Σ 3ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1)x₀ = 3
R =
4.Послідовності та рядиСкладна

Функцію f(x) = eˣ наближено в точці x = 0,5 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 2 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня
xy−23P

Скористайтеся дотичною площиною до f(x, y) = xy³ + 5x² + 5y³ + 4xy у (−2, 3), щоб наблизити f(−2,2, 2,8). Дайте лінійне наближення L.

f(x, y) = xy³ + 5x² + 5y³ + 4xy(a, b) = (−2, 3)(x, y) = (−2,2, 2,8)
L =
6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна
xy30,5

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R e−(x² + y²) dA, де R — кільце 0,25 ≤ x² + y² ≤ 9.

f = e−(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.Диференціальні рівнянняСередня
t (min)T (°C)13Ta​21 °C

Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 28 °C. Через 13 min її температура становить 21 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T0 = 3 °CTa = 28 °CT(13) = 21 °C
k = min⁻¹
8.Диференціальні рівнянняСкладна
xy12(1, −2)y(2) = ?

Розв’яжіть задачу Коші y′ + 2y/x = 5x2 при x > 0, y(1) = −2. Знайдіть y(2).

y′ + 2y/x = 5x2y(1) = −2
y(2) =

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = 1,386

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 2·ln x

Підставте межі

I = 2·(ln 4 − ln 2) = 2·ln 2 = 1,386

Відповідь

I = 1,386
2.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36
3.Послідовності та ряди

Відповідь: R = 0,3333

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Коефіцієнти

ck/ck+1 = (1/3)·(k + 2)/(k + 1) → 0,3333

Радіус

R = 0,3333

Відповідь

R = 0,3333

Ознака Даламбера нічого не каже в двох кінцевих точках; їх треба перевіряти окремо.

4.Послідовності та ряди

Відповідь: n = 6

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

n(n + 1)!оцінка011120,25260,041673240,00520841200,000520857204,34 × 10⁻⁵650403,1 × 10⁻⁶

Оцінки для зростаючого n

n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Найменший степінь

n = 6

Відповідь

n = 6
5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: L = 58,6

Градієнт: ∇f = (fx, fy) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює Duf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Значення і нахили в точці

f(−2, 3) = 77
fx = y³ + 10x + 4y → fx(−2, 3) = 19
fy = 3xy² + 15y² + 4x → fy(−2, 3) = 73

Дотична площина

z = 77 + 19(x + 2) + 73(y − 3)
z = 19x + 73y − 104

Лінійне наближення

L = 77 + 19·(−0,2) + 73·(−0,2) = 58,6

Відповідь

L = 58,6

Точне значення f = 61,0256; площина близька, бо крок малий.

6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: I = 2,446

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має fx = fy = 0. Тест другої похідної з D = fxxfyy − fxy²: D > 0 і fxx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і fxx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Полярна форма

I = ∫02π ∫0,53 e−r²·r dr dθ

Інтегруйте

∫ e−r²·r dr = [−e−r²/2]
I = 2,446

Відповідь

I = 2,446
7.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,09792 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e−13k = -7/-25

Розв’яжіть щодо k

k = ln(-25/-7)/13 = 0,09792 min⁻¹

Відповідь

k = 0,09792 min⁻¹
8.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(2) = 7,25

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Інтегрувальний множник

μ = e∫2/x dx = x2

Інтегруйте

(x2y)′ = 5x4 → x2y = 5x5/5 + C

Початкова умова

−2 = 5/5 + C → C = −3

Обчисліть

y(2) = (5·25/5 + (−3))/22 = 7,25

Відповідь

y(2) = 7,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2