Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

  1. Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
  2. Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
  3. Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
  4. Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Градієнт
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Ланцюгове правило
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Тест другої похідної
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Полярні координати
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

  1. Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
  2. Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (fx, fy) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
  3. Для екстремумів розв’яжіть fx = 0 і fy = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = fxx·fyy − fxy².
  4. Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня
xy02

Обчисліть I = ∫02 e−x dx.

f(x) = e−x[0, 2]
I =
2.ІнтегралиСкладна
xyy = x2​y = 2x

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x2 і y = 2x.

y = x2y = 2x
A =
3.Послідовності та рядиСередня
xx₀ = 1??R

Знайдіть радіус збіжності R степеневого ряду Σk=1∞ k²·4ᵏ·(x − 1)ᵏ.

Σ k²·4ᵏ·(x − 1)ᵏx₀ = 1
R =
4.Послідовності та рядиСкладна
xyfP₄−1

Скористайтеся многочленом Маклорена степеня 4 для f(x) = cos(2x), щоб наблизити f(−1). Дайте P₄(−1).

f(x) = cos(2x)n = 4x = −1
P₄(−1) =
5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня
xy1−1∇fP

Для f(x, y) = 4x²y³ − 5x² + 4y² + 3xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, −1), тобто |∇f|.

f(x, y) = 4x²y³ − 5x² + 4y² + 3xyP = (1, −1)
|∇f| =
6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна
xy−202−101(1, 0)(−1, 0)

f(x, y) = −x³ + 3x − y² має критичну точку в (−1, 0). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 3x − y²P = (−1, 0)
D =
7.Диференціальні рівнянняСередня
t (min)T (°C)10Ta​18 °C

Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 29 °C. Через 10 min її температура становить 18 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T0 = 3 °CTa = 29 °CT(10) = 18 °C
k = min⁻¹
8.Диференціальні рівнянняСкладна
xy13(1, 5)y(3) = ?

Розв’яжіть задачу Коші y′ + 2y/x = 6x2 при x > 0, y(1) = 5. Знайдіть y(3).

y′ + 2y/x = 6x2y(1) = 5
y(3) =

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = 0,8647

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e−x/(−1)

Підставте межі

I = (e−2 − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Відповідь

I = 0,8647
2.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

x2 = 2x → x = 0, x = 2

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [x2 − 0,3333x3]02 = 1,333

Відповідь

A = 1,333
3.Послідовності та ряди

Відповідь: R = 0,25

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Коефіцієнти

ck/ck+1 = (1/4)·(k/(k + 1))² → 1/4

Радіус

R = 0,25

Відповідь

R = 0,25

Ознака Даламбера нічого не каже в двох кінцевих точках; їх треба перевіряти окремо.

4.Послідовності та ряди

Відповідь: P₄(−1) = −0,3333

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Многочлен Маклорена

P₄(x) = 1 − 2x² + 0,6667x⁴

Підставте

P₄(−1) = 1 − 2 + 0,666667 = −0,3333

Відповідь

P₄(−1) = −0,3333

Точне значення дорівнює f(−1) = −0,416147; похибка −0,0828135 зменшується, якщо взяти більше членів або точку ближче до 0.

5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: |∇f| = 22,14

Градієнт: ∇f = (fx, fy) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює Duf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Частинні похідні

fx = 8xy³ − 10x + 3y → fx(1, −1) = −21
fy = 12x²y² + 8y + 3x → fy(1, −1) = 7

Довжина градієнта

|∇f| = √((−21)² + 7²) = 22,14

Відповідь

|∇f| = 22,14
6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: D = −12

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має fx = fy = 0. Тест другої похідної з D = fxxfyy − fxy²: D > 0 і fxx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і fxx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Другі похідні

fxx = 6, fyy = −2, fxy = 0

Дискримінант

D = 6·(−2) − 0² = −12
→ сідлова точка

Відповідь

D = −12
7.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,08602 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e−10k = -11/-26

Розв’яжіть щодо k

k = ln(-26/-11)/10 = 0,08602 min⁻¹

Відповідь

k = 0,08602 min⁻¹
8.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(3) = 32,82

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Інтегрувальний множник

μ = e∫2/x dx = x2

Інтегруйте

(x2y)′ = 6x4 → x2y = 6x5/5 + C

Початкова умова

5 = 6/5 + C → C = 3,8

Обчисліть

y(3) = (6·35/5 + 3,8)/32 = 32,82

Відповідь

y(3) = 32,82

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2