Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градієнт: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Ланцюгове правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест другої похідної: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярні координати: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (f_x, f_y) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
Для екстремумів розв’яжіть f_x = 0 і f_y = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀^π x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀^π x·cos x dx

I =

2.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²

A =

3.Послідовності та рядиСередня

Знайдіть суму S = Σ_k=1^∞ 6/(k(k + 1)).

a_k = 6/(k(k + 1))

S =

4.Послідовності та рядиСкладна

Функцію f(x) = eˣ наближено многочленом Маклорена степеня 3 у точці x = 0,5. Скористайтеся оцінкою похибки Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = e^0,5 = 1,649, щоб знайти найбільшу можливу похибку |R₃|.

f(x) = eˣn = 3x = 0,5M = 1,649

|R₃| =

5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня

z = −2xy + 2x² + 4y³, де x = 3t − 1 і y = 2t². Скористайтеся правилом ланцюга, щоб знайти dz/dt за t = −1.

z = −2xy + 2x² + 4y³x = 3t − 1y = 2t²t = −1

dz/dt =

6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна

Інтеграл I = ∫₀¹ ∫_x¹ cos(y²) dy dx не можна обчислити в такому порядку. Змініть порядок інтегрування й обчисліть його.

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1

I =

7.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 92 °C залишили в кімнаті з температурою 18 °C. Через 16 min її температура становить 33 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 92 °CT_a = 18 °CT(16) = 33 °C

k = min⁻¹

8.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 100 L чистої води. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 5 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 20 kg солі?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min

t = min

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = −2

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Відповідь

I = −2

2.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333

3.Послідовності та ряди

Відповідь: S = 6

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))

Скасувати

S = 6·1 = 6

Відповідь

S = 6

4.Послідовності та ряди

Відповідь: |R₃| = 0,004294

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Оцінка похідної

M = e^0,5 = 1,649

Оцінка Лагранжа

|R₃| ≤ 1,649·0,5⁴/4! = 0,004294

Відповідь

|R₃| = 0,004294

Справжня похибка менша: |f(0,5) − P₃(0,5)| = 0,002888.

5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: dz/dt = −284

Градієнт: ∇f = (f_x, f_y) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює D_uf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Точка і швидкості

x(−1) = −4, y(−1) = 2

dx/dt = 3, dy/dt = 4t = −4

Частинні похідні

f_x = −2y + 4x = −20

f_y = −2x + 12y² = 56

Ланцюгове правило

dz/dt = (−20)·3 + 56·(−4) = −284

Відповідь

dz/dt = −284

6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: I = 0,4207

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має f_x = f_y = 0. Тест другої похідної з D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 і f_xx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і f_xx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Область

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1

Змінений порядок

I = ∫₀¹ ∫₀^y cos(y²) dx dy = ∫₀¹ y·cos(y²) dy

Підстановка u = y²

I = [sin(y²)/2]₀¹ = 0,4207

Відповідь

I = 0,4207

7.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,09975 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−16k = 15/74

Розв’яжіть щодо k

k = ln(74/15)/16 = 0,09975 min⁻¹

Відповідь

k = 0,09975 min⁻¹

8.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 32,19 min

Результат

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/20

Розв’яжіть щодо t

e^−t/20 = (25 − 20)/(25 − 0) = 0,2

t = 20·ln(5) = 32,19 min

Відповідь

t = 32,19 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2