Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градієнт: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Ланцюгове правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест другої похідної: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярні координати: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (f_x, f_y) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
Для екстремумів розв’яжіть f_x = 0 і f_y = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

2.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²

A =

3.Послідовності та рядиСередня

Рівно один із чотирьох рядів збігається. Клікніть його.

A: Σ 2ᵏ/k³B: Σ 5/k⁴C: Σ ln k / kD: Σ 1/√k

1A: Σ 2ᵏ/k³
2B: Σ 5/k⁴
3C: Σ ln k / k
4D: Σ 1/√k

4.Послідовності та рядиСкладна

Скористайтеся многочленом Маклорена степеня 5 для f(x) = sin x, щоб наблизити f(2). Дайте P₅(2).

f(x) = sin xn = 5x = 2

P₅(2) =

5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня

Дотичну площину до z = 4x²y² − 3x³ − 3y³ у точці, де (x, y) = (2, −1), можна записати як z = px + qy + c. Знайдіть c.

f(x, y) = 4x²y² − 3x³ − 3y³(a, b) = (2, −1)

c =

6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна

f(x, y) = 2x² + 2xy + y² + 2x + 4y − 1 має критичну точку в (1, −3). Обчисліть там дискримінант D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = 2x² + 2xy + y² + 2x + 4y − 1P = (1, −3)

D =

7.Диференціальні рівнянняСередня

Банку газованого напою температурою 5 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 24 °C. Через 20 min її температура становить 20 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 5 °CT_a = 24 °CT(20) = 20 °C

k = min⁻¹

8.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 1000 L чистої води. Розсіл із 0,25 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 20 min?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = 3,75

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Відповідь

I = 3,75

2.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333

3.Послідовності та ряди

Відповідь: B: Σ 5/k⁴

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Перевірте кожен ряд

A: Σ 2ᵏ/k³ → Ознака Даламбера: L = 2 > 1, розбігається.

B: Σ 5/k⁴ → p-ряд з p = 4 > 1: збігається.

C: Σ ln k / k → Більший за 1/k для k ≥ 3: розбігається за порівнянням із гармонічним рядом.

D: Σ 1/√k → p-ряд з p = 1/2 ≤ 1: розбігається.

Відповідь

B: Σ 5/k⁴

Відповідь

B: Σ 5/k⁴

4.Послідовності та ряди

Відповідь: P₅(2) = 0,9333

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Многочлен Маклорена

P₅(x) = x − 0,1667x³ + 0,008333x⁵

Підставте

P₅(2) = 2 − 1,333333 + 0,266667 = 0,9333

Відповідь

P₅(2) = 0,9333

Точне значення дорівнює f(2) = 0,909297; похибка −0,0240359 зменшується, якщо взяти більше членів або точку ближче до 0.

5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: c = −6

Градієнт: ∇f = (f_x, f_y) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює D_uf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Значення і нахили в точці

f(2, −1) = −5

f_x = 8xy² − 9x² → f_x(2, −1) = −20

f_y = 8x²y − 9y² → f_y(2, −1) = −41

Дотична площина

z = −5 − 20(x − 2) − 41(y + 1)

z = −20x − 41y − 6

Сталий член

c = −6

Відповідь

c = −6

6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: D = 4

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має f_x = f_y = 0. Тест другої похідної з D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 і f_xx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і f_xx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Другі похідні

f_xx = 4, f_yy = 2, f_xy = 2

Дискримінант

D = 4·2 − 2² = 4

→ локальний мінімум

Відповідь

D = 4

7.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,07791 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−20k = -4/-19

Розв’яжіть щодо k

k = ln(-19/-4)/20 = 0,07791 min⁻¹

Відповідь

k = 0,07791 min⁻¹

8.Диференціальні рівняння

Відповідь: m = 19,22 kg

Складіть рівняння

dm/dt = 4·0,25 − (4/1000)·m = 1 − 0,004·m

Розв’яжіть

Інтегрувальний множник e^rt/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.

m(t) = 250 + (−250)·e^−t/250

Підставте t

m(20) = 250 + (−250)·0,9231 = 19,22 kg

Відповідь

m = 19,22 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2