Математичний аналіз 2: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Послідовності та ряди

Арифметична послідовність: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Частинні похідні: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градієнт: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Ланцюгове правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест другої похідної: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярні координати: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (f_x, f_y) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
Для екстремумів розв’яжіть f_x = 0 і f_y = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Задачі для практики

1.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

2.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

3.Послідовності та рядиСередня

Степеневий ряд Σ_k=1^∞ k·2ᵏ·(x − 3)ᵏ збігається на інтервалі навколо x₀ = 3. Знайдіть правий кінець x цього інтервалу.

Σ k·2ᵏ·(x − 3)ᵏx₀ = 3

x =

4.Послідовності та рядиСкладна

Функцію f(x) = cos x наближено многочленом Маклорена степеня 2 у точці x = 0,8. Скористайтеся оцінкою похибки Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 1, щоб знайти найбільшу можливу похибку |R₂|.

f(x) = cos xn = 2x = 0,8M = 1

|R₂| =

5.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСередня

Для f(x, y) = 2x³y − 4x³ − y³ − 2xy знайдіть похідну за напрямом D_uf у точці P(3, 2) у напрямку до Q(5, 6).

f(x, y) = 2x³y − 4x³ − y³ − 2xyP = (3, 2)Q = (5, 6)

D_uf =

6.Диференціальне числення функцій багатьох зміннихСкладна

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y, класифікуйте їх і дайте значення f_min функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y

f_min =

7.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 82 °C залишили в кімнаті з температурою 19 °C. Через 8 min її температура становить 58 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 82 °CT_a = 19 °CT(8) = 58 °C

k = min⁻¹

8.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 100 L чистої води. Розсіл із 0,1 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 40 min?

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3Розчини

1.Інтеграли

Відповідь: I = 41,33

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Відповідь

I = 41,33

2.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Точки перетину

x² = 4x → x = 0, x = 4

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Відповідь

A = 10,67

3.Послідовності та ряди

Відповідь: x = 3,5

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; ознака Коші: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |c_k/c_k+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Коефіцієнти

c_k/c_k+1 = (1/2)·(k/(k + 1)) → 1/2

Радіус

R = 0,5

Інтервал

2,5 < x < 3,5

x = 3,5

Відповідь

x = 3,5

Ознака Даламбера нічого не каже в двох кінцевих точках; їх треба перевіряти окремо.

4.Послідовності та ряди

Відповідь: |R₂| = 0,08533

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

Оцінка похідної

M = 1

Оцінка Лагранжа

|R₂| ≤ 1·0,8³/3! = 0,08533

Відповідь

|R₂| = 0,08533

Справжня похибка менша: |f(0,8) − P₂(0,8)| = 0,01671.

5.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: D_uf = 30,41

Градієнт: ∇f = (f_x, f_y) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює D_uf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Градієнт у точці

f_x = 6x²y − 12x² − 2y → f_x(3, 2) = −4

f_y = 2x³ − 3y² − 2x → f_y(3, 2) = 36

Одиничний вектор

|v| = √(2² + 4²) = 4,472

u = (0,4472, 0,8944)

Скалярний добуток

D_uf = (−4)·0,4472 + 36·0,8944 = 30,41

Відповідь

D_uf = 30,41

6.Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Відповідь: f_min = −20

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має f_x = f_y = 0. Тест другої похідної з D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 і f_xx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і f_xx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Критичні точки

Розв’яжіть f_x = 0 і f_y = 0 разом.

f_x = (3x² − 12) = 0

f_y = (2y − 4) = 0

(2, 2), (−2, 2)

Тест другої похідної

(2, 2): f_xx = 12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 24 → локальний мінімум

(−2, 2): f_xx = −12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −24 → сідлова точка

Значення в екстремумі

f(2, 2) = −20

Відповідь

f_min = −20

7.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,05995 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−8k = 39/63

Розв’яжіть щодо k

k = ln(63/39)/8 = 0,05995 min⁻¹

Відповідь

k = 0,05995 min⁻¹

8.Диференціальні рівняння

Відповідь: m = 7,981 kg

Складіть рівняння

dm/dt = 4·0,1 − (4/100)·m = 0,4 − 0,04·m

Розв’яжіть

Інтегрувальний множник e^rt/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.

m(t) = 10 + (−10)·e^−t/25

Підставте t

m(40) = 10 + (−10)·0,2019 = 7,981 kg

Відповідь

m = 7,981 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2