Через 3 років вам потрібно €25 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €25 0004,8% / 12n = 3
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 10 років. Рахунок дає 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1003,6% / 12N = 120
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €24 000, €12 000, €16 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €20 000 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 9. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €20 000g = 3%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 15 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 097, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 15P = €1 097YTM = 6%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 7 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 7P = €1 060
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €8 000 000, привілейованими акціями вартістю €500 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 14%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €16,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 70.
μ = 100σ = 20x = 70
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 6 осіб? Порядок не має значення.
n = 6k = 2
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 6p = 0,4k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8473. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8473
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 8,9. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?
95%n₁ = 100E₁ = 8,990%
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 29E = 190%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 82,25 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 82,25s = 10n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 2,5. Насправді середнє дорівнює 100,95. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 100μ = 100,95σ = 2,5n = 25α = 0,01
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4.
n = 5x = 4
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 21653 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,155 = €21 653,41
Відповідь
PV = €21 653,41
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 14419 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 24 000/1,06 = 22 641,51
CF2/(1 + 0,06)2 = 12 000/1,124 = 10 679,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 16 000/1,191 = 13 433,91
Додайте
NPV = €−13 244,62
Відповідь
NPV = €−13 244,62
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −61085 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 6,999 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,06)−15 = €417,27
Купон
C = (1097 − 417,27)/9,712 = €69,99
Купонна ставка
c = 69,99/1000 = 6,999%
Відповідь
c = 6,999%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,964 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 060 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86
YTM = 4,964%
Відповідь
YTM = 4,964%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,26 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€16,50 = €33 000 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,8·5,5% = 12,9%
Ваги
V = €42 600 000, E/V = 0,7746, D/V = 0,2254
WACC
WACC = 0,7746·12,9% + 0,2254·7%·(1 − 0,3) = 11,1%
Відповідь
WACC = 11,1%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 18,19
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (70 − 100)/20 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
11.Імовірність
Відповідь: N = 15
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Відповідь
N = 15
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,311
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 15·0,42·0,64 = 15·0,16·0,1296 = 0,311
Відповідь
P = 0,311
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,43
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,8473)/2 = 0,9236
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9236 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,43
Відповідь
z = 1,43
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9633
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Відповідь
P = 0,9633
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 7,47
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/100) = 0,8393
Нова похибка
E₂ = 8,9·0,8393 = 7,47
Відповідь
E₂ = 7,47
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 2276
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·29/1)² = 2276
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 2276
Відповідь
n = 2276
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Статистика критерію
t = (82,25 − 75)/2,5 = 2,9
Відповідь
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 33,51 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 2,5/√25 = 0,5
x̄c = 100 + 2,326·0,5 = 101,2
z при справжньому середньому
z = (101,2 − 100,95)/0,5 = 0,426
Потужність
потужність = P(Z > 0,426) = 33,51%
1 − β = 33,51%
Відповідь
1 − β = 33,51%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9596
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 385/6 = 64,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235
Syy = Σ(y − ȳ)² = 856,8
Коефіцієнт кореляції
r = 235/√(70·856,8) = 0,9596
Відповідь
r = 0,9596
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 41,75
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 250/5 = 50
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Лінія регресії
b = 110/40 = 2,75
a = 50 − 2,75·7 = 30,75
ŷ = 30,75 + 2,75·x
Прогноз
ŷ = 30,75 + 2,75·4 = 41,75
Відповідь
ŷ = 41,75
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.