Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 4 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 10 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €8 000g = 4%r = 10%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €8 000 під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €250. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €8 000A = €2505,4% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €28 000, €25 000, €16 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €20 500, €25 500, €28 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 20 500CF2 = 25 500CF3 = 28 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 8 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 5,5%n = 8
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 6 років і продається за €880. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 6P = €880
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €6 000 000, привілейованими акціями вартістю €2 000 000 і боргом вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу 10%, вартість привілейованого капіталу 7,5%, вартість боргу до оподаткування 5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €17,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 60,4.
μ = 70σ = 8x = 60,4
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 15 осіб? Порядок не має значення.
n = 15k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 5p = 0,4k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 202,7 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 202,7 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 40% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 12 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 9,9 і стандартне відхилення 7,6. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 12d̄ = 9,9sd = 7,690%t(11) = 1,796
нижня межа = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 35E = 0,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 52,63 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,63s = 10n = 64
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 29. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 14?
n = 6ŷ = 14
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 133333 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,0045/250 = 0,856
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,856)/ln(1,004) = 34,63
Округлення вгору до повних платежів
Після 34 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 35
Відповідь
N = 35 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −6228 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 28 000/1,15 = 24 347,83
CF2/(1 + 0,15)2 = 25 000/1,322 = 18 903,59
CF3/(1 + 0,15)3 = 16 000/1,521 = 10 520,26
Додайте
NPV = €−6 228,32
Відповідь
NPV = €−6 228,32
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 21,2 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 995,37
NPV(25%) = −2 944,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,0275, N = 16
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,6479)/0,0275 = €320,11
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6479 = €647,87
Ціна
P = €967,99
Відповідь
P = €967,99
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,477 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€880 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(6%) = €901,65, P(7%) = €857,00
YTM = 6,477%
Відповідь
YTM = 6,477%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,909 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (60,4 − 70)/8 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
11.Імовірність
Відповідь: N = 455
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455
Відповідь
N = 455
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,3456
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 10·0,42·0,63 = 10·0,16·0,216 = 0,3456
Відповідь
P = 0,3456
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,1562
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 200 g, σT = 1,2·√5 = 2,683 g
Стандартизуйте
z = (202,7 − 200)/2,683 = 1,01
Імовірність
P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562
Відповідь
P = 0,1562
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 179,8 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,6
z з таблиці
z ≈ 0,25
Назад до початкових одиниць
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Відповідь
x = 179,8 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 5,96 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 11, t = 1,796
Похибка оцінки
E = 1,796·7,6/√12 = 3,94
Інтервал
9,9 ± 3,94 → [5,96, 13,84]
Відповідь
нижня межа = 5,96 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 18824
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·35/0,5)² = 18824
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 18824
Відповідь
n = 18824
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,104
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Статистика критерію
t = (52,63 − 50)/1,25 = 2,104
Відповідь
t = 2,104
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 365
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 1,645)·29/5)² = 364,1
Округліть угору
n = 365
Відповідь
n = 365
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9854
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 305/6 = 50,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 385
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2149
Коефіцієнт детермінації
r² = 385²/(70·2149) = 0,9854
Відповідь
r² = 0,9854
Близько 98,54% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 4,348
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 100/6 = 16,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55
Лінія регресії
b = −55/17,5 = −3,143
a = 16,67 − (−3,143)·3,5 = 27,67
ŷ = 27,67 − 3,143·x
Розв’яжіть щодо x
x = (14 − 27,67)/(−3,143) = 4,348
Відповідь
x = 4,348
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.