Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 16 років. Процентна ставка 10 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €8 000i = 10%n = 16

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 4? Знайдіть залишок боргу B.

P = €200 0007,2% / 12N = 240k = 48

B = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €31 000, €29 000, €19 000, €22 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 31 000CF₂ = 29 000CF₃ = 19 000CF₄ = 22 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €11 000, €17 000, €16 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 000CF₂ = 17 000CF₃ = 16 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 3,5%n = 4

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 8 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 7%n = 8P = €1 060

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 500 000 акцій по €35,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.

β = 1,1r_f = 4%r_m = 9%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 46, 42, 10, 22, 38, 28.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень більша за 450?

μ = 500σ = 25x = 450

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,25, 0,2, 0,25

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 10p = 0,2k = 4

P =

13.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 126,7 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 126,7 kg

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = балів

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 20 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 5,5 і стандартне відхилення 1,7. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 20d̄ = 5,5s_d = 1,790%t(19) = 1,729

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,2 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p ≈ 0,2E = 0,02595%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 113 mm, відоме стандартне відхилення лінії 20 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 103,4 mm, відоме стандартне відхилення 4 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 40x̄₁ = 113 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 100x̄₂ = 103,4 mmσ₂ = 4 mm

z =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 15. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 80%δ = 2σ = 15z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (11, 92). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(11, 92)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 62590 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2176)/0,1 = 7,824

Теперішня вартість

PV = 8 000·7,824 = €62 589,67

Відповідь

PV = €62 589,67

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 179229 €

Щомісячний платіж

i = 0,006, N = 240

A = 200 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻²⁴⁰) = €1 574,70

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 240 − 48 = 192

B = 1575·(1 − (1 + 0,006)⁻¹⁹²)/0,006 = €179 228,58

Відповідь

B = €179 228,58

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 9820 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 31 000/1,08 = 28 703,70

CF₂/(1 + 0,08)² = 29 000/1,166 = 24 862,83

CF₃/(1 + 0,08)³ = 19 000/1,26 = 15 082,81

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 22 000/1,36 = 16 170,66

Додайте

NPV = €9 820,00

Відповідь

NPV = €9 820,00

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 32,71 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(30%) = 1 030,95

NPV(35%) = −817,71

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 30 + 5·1 030,95/(1 030,95 − (−817,71)) = 32,79%

точно: NPV(32,71%) = 0 → IRR = 32,71%

Відповідь

IRR = 32,71%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1167 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €40,00, i = 0,0175, N = 8

Теперішня вартість купонів

€40,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €296,20

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8704 = €870,41

Ціна

P = €1 166,61

Відповідь

P = €1 166,61

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 6,033 %

Рівняння для дохідності

€1 060 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Чисельний розв’язок

P(6%) = €1 062,10, P(7%) = €1 000,00

YTM = 6,033%

Відповідь

YTM = 6,033%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,25 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·8% + 0,625·4,5%·(1 − 0,2) = 5,25%

Відповідь

WACC = 5,25%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,433 %

Ринкові вартості

E = 2 500 000·€35,50 = €88 750 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 4% + 1,1·5% = 9,5%

Ваги

V = €108 350 000, E/V = 0,8191, D/V = 0,1809

WACC

WACC = 0,8191·9,5% + 0,1809·5%·(1 − 0,28) = 8,433%

Відповідь

WACC = 8,433%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 13,61

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 186/6 = 31

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 15² + 11² + (−21)² + (−9)² + 7² + (−3)² = 926

Стандартне відхилення

s = √(926/5) = 13,61

Відповідь

s = 13,61

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,236

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,05 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,35

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,25 = 7,05

Дисперсія

Var(X) = 7,05 − 2,35² = 1,527

σ = √1,527 = 1,236

Відповідь

σ = 1,236

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,08808

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 4) = 210·0,2⁴·0,8⁶ = 210·0,0016·0,2621 = 0,08808

Відповідь

P = 0,08808

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06426

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Стандартизуйте

z = (126,7 − 125)/1,118 = 1,52

Імовірність

P = 1 − Φ(1,52) = 0,06426

Відповідь

P = 0,06426

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 84,6 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 балів

Відповідь

x = 84,6 балів

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 6,157 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 19, t = 1,729

Похибка оцінки

E = 1,729·1,7/√20 = 0,6572

Інтервал

5,5 ± 0,6572 → [4,843, 6,157]

Відповідь

верхня межа = 6,157 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 984

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,2·0,8/0,025² = 983,4

Округліть угору

n = 984

Відповідь

n = 984

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 3,012

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(20²/40 + 4²/100) = √10,16 = 3,187

Статистика критерію

z = (113 − 103,4)/3,187 = 3,012

Відповідь

z = 3,012

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 348

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 0,842)·15/2)² = 347,9

Округліть угору

n = 348

Відповідь

n = 348

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8971

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 367/6 = 61,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 256,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 63,5²/(17,5·256,8) = 0,8971

Відповідь

r² = 0,8971

Близько 89,71% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,89

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 455/6 = 75,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351

Лінія регресії

b = 351/70 = 5,014

a = 75,83 − 5,014·7 = 40,73

ŷ = 40,73 + 5,014·x

Прогнозоване значення

ŷ = 40,73 + 5,014·11 = 95,89

Залишок

e = 92 − 95,89 = −3,89

Відповідь

e = −3,89

Точка лежить нижче прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income