Через 4 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0005% / 12n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €2 500 на початку кожного року протягом 16 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 7 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 16? Знайдіть FV.
A = €2 500i = 7%n = 16
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €250 000. Він приносить €22 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €250 000CF1 = €22 000g = 2%r = 10%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €31 500 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €31 500g = 3%n = 7r = 8%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 14 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 423, коли дохідність до погашення становить 4%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 14P = €1 423YTM = 4%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 7 років і продається за €1 055. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 7P = €1 055
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 7,91%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Акції компанії мають бету 1,5 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,2. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,75. Ставка податку 30%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень більша за 540?
μ = 500σ = 100x = 540
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?
n = 10p = 0,25k = 3
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 125,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 125,6 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 145 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 160 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?
p = 0,5E = 0,0599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 72,9 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,9s = 15n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 15E = 2,599%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (27,5, 153). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(27,5, 153)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 32763 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·4 = 48
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,221 = €32 762,84
Відповідь
PV = €32 762,84
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 74601 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,07)16 − 1)/0,07 = 27,89
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 2 500·27,89·1,07 = €74 600,54
Відповідь
FV = €74 600,54
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 25000 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 22 000/(0,1 − 0,02) = 275 000,00
NPV
NPV = 275 000,00 − 250 000 = €25 000,00
Відповідь
NPV = €25 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −22100 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 8,004 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,04)−14 = €577,48
Купон
C = (1423 − 577,48)/10,56 = €80,04
Купонна ставка
c = 80,04/1000 = 8,004%
Відповідь
c = 8,004%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,98 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 055 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 111,65, P(7%) = €1 053,89
YTM = 6,98%
Відповідь
YTM = 6,98%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 8,999 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
Частка боргу у WACC
0,2·4,5%·(1 − 0,21) = 0,711%
Вартість власного капіталу
re = (7,91% − 0,711%)/0,8 = 8,999%
Відповідь
re = 8,999%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 14,54 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,5/(1 + 0,7·0,2) = 1,316
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,316·(1 + 0,7·0,75) = 2,007
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 2,007·6% = 14,54%
Відповідь
re = 14,54%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 17,99
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Відповідь
P = 0,3446
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,31
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,7
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,2
Дисперсія
Var(X) = 4,2 − 1,7² = 1,31
Відповідь
Var(X) = 1,31
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,2503
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 125 kg, σT = 0,5·√5 = 1,118 kg
Стандартизуйте
z = (125,6 − 125)/1,118 = 0,54
Імовірність
P = 1 − Φ(0,54) = 0,2946
Відповідь
P = 0,2946
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Відповідь
P = 0,7389
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = −12,38 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 145 − 160 = −15
Стандартна похибка
SE = √(8²/60 + 6²/50) = 1,337
Похибка оцінки
E = 1,96·1,337 = 2,62
Інтервал
−15 ± 2,62 → [−17,62, −12,38]
Відповідь
верхня межа = −12,38 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6
Округліть угору
n = 664
Відповідь
n = 664
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Статистика критерію
t = (72,9 − 75)/1,5 = −1,4
Відповідь
t = −1,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 239
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (2,576·15/2,5)² = 238,9
Округліть угору
n = 239
Відповідь
n = 239
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,991
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 4074 − 42·526/6 = 392
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 48348 − 526²/6 = 2235
Коефіцієнт кореляції
r = 392/√(70·2235) = 0,991
Відповідь
r = 0,991
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,05
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 600/5 = 120
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 579
Лінія регресії
b = 579/90 = 6,433
a = 120 − 6,433·23 = −27,97
ŷ = −27,97 + 6,433·x
Прогнозоване значення
ŷ = −27,97 + 6,433·27,5 = 149
Залишок
e = 153 − 149 = 4,05
Відповідь
e = 4,05
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.