Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 4 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €20 0006% / 4n = 4

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €1 000 на початку кожного року протягом 27 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 3 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 27? Знайдіть FV.

A = €1 000i = 3%n = 27

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €4 000, €8 000, €8 000, €10 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 10 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 000, €6 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 4%n = 10

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 6 років і продається за €910. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 7%n = 6P = €910

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 2 000 000 акцій, що торгуються за €52,00; балансова вартість її власного капіталу €62 400 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,60 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €52 000 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 2 000 000P₀ = €52,00балансовий власний капітал = €62 400 000D₀ = €1,60g = 4%D = €52 000 000r_d = 5%T = 20%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 31, 33, 38, 31, 38, 46.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 62?

μ = 50σ = 20x = 62

P =

11.ІмовірністьСередня

У мішечку 7 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

7 / 3

P =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 12p = 0,4k = 2

P =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 171 і 192,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 192,35

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = балів

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 8 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 4 і стандартне відхилення 7,1. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 8d̄ = 4s_d = 7,195%t(7) = 2,365

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 16,5 kg, стандартне відхилення 6 kg. Група ділянок 2: 12 ділянок, середнє 10 kg, стандартне відхилення 3 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 16,5s₁ = 6n₂ = 12x̄₂ = 10s₂ = 390%t(15) = 1,753

нижня межа = kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 49 студентів має середній бал 195,5 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 195,5s = 12n = 49

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 150 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 210 з 300 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 210n₂ = 300

z =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (18, 45). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(18, 45)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 15761 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·4 = 16

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,269 = €15 760,62

Відповідь

PV = €15 760,62

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 41931 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,03)²⁷ − 1)/0,03 = 40,71

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 1 000·40,71·1,03 = €41 930,92

Відповідь

FV = €41 930,92

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 4263 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 4 000/1,08 = 3 703,70

CF₂/(1 + 0,08)² = 8 000/1,166 = 6 858,71

CF₃/(1 + 0,08)³ = 8 000/1,26 = 6 350,66

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 10 000/1,36 = 7 350,30

Додайте

NPV = €4 263,37

Відповідь

NPV = €4 263,37

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 16,02 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 132,33

NPV(20%) = −486,11

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·132,33/(132,33 − (−486,11)) = 16,07%

точно: NPV(16,02%) = 0 → IRR = 16,02%

Відповідь

IRR = 16,02%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 836,5 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €10,00, i = 0,02, N = 20

Теперішня вартість купонів

€10,00·(1 − 0,673)/0,02 = €163,51

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,673 = €672,97

Ціна

P = €836,49

Відповідь

P = €836,49

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 9,007 %

Рівняння для дохідності

€910 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Чисельний розв’язок

P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34

YTM = 9,007%

Відповідь

YTM = 9,007%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,352 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·12% + 0,4·4%·(1 − 0,28) = 8,352%

Відповідь

WACC = 8,352%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,133 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 1,6·1,04 = €1,66

r_e = 1,664/52 + 0,04 = 7,2%

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€52,00 = €104 000 000

V = €156 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·7,2% + 0,3333·5%·(1 − 0,2) = 6,133%

Відповідь

WACC = 6,133%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 5,776

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 217/6 = 36,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,167)² + (−3,167)² + 1,833² + (−5,167)² + 1,833² + 9,833² = 166,8

Стандартне відхилення

s = √(166,8/5) = 5,776

Відповідь

s = 5,776

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Відповідь

P = 0,7257

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,4667

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Відповідь

P = 0,4667

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,06385

Біноміальна формула

P(X = 2) = 66·0,4²·0,6¹⁰ = 66·0,16·0,006047 = 0,06385

Відповідь

P = 0,06385

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8212

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Площа між

P = Φ(2,05) − Φ(−1) = 0,9798 − 0,1587 = 0,8212

Відповідь

P = 0,8212

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 81,45 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 балів

Відповідь

x = 81,45 балів

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 9,937 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 7, t = 2,365

Похибка оцінки

E = 2,365·7,1/√8 = 5,937

Інтервал

4 ± 5,937 → [−1,937, 9,937]

Відповідь

верхня межа = 9,937 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 2,744 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·6² + 11·3²)/15 = 16,2

s_p = 4,025

Похибка оцінки

E = 1,753·4,025·√(1/5 + 1/12) = 3,756

Інтервал

6,5 ± 3,756 → [2,744, 10,26]

Відповідь

нижня межа = 2,744 kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,625

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Статистика критерію

t = (195,5 − 200)/1,714 = −2,625

Відповідь

t = −2,625

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,456

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 150/250 = 0,6

p̂₂ = 210/300 = 0,7

p̂ = 360/550 = 0,6545

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,6545·0,3455·(1/250 + 1/300)) = 0,04072

Статистика критерію

z = (0,6 − 0,7)/0,04072 = −2,456

Відповідь

z = −2,456

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9354

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 438/6 = 73

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 822

Коефіцієнт детермінації

r² = 232²/(70·822) = 0,9354

Відповідь

r² = 0,9354

Близько 93,54% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −5,229

Середні

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 348/6 = 58

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

Лінія регресії

b = 272/70 = 3,886

a = 58 − 3,886·20 = −19,71

ŷ = −19,71 + 3,886·x

Прогнозоване значення

ŷ = −19,71 + 3,886·18 = 50,23

Залишок

e = 45 − 50,23 = −5,229

Відповідь

e = −5,229

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income