Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під 3 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 2 років.

PV = €5 000r = 3%t = 2

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 12 років. Рахунок дає 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €1005,4% / 12N = 144

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €8 500 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 500CF₃ = 8 500CF₄ = 8 500CF₅ = 8 500

DPB = роки

4.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €50 000 приносить €10 500 наприкінці кожного року протягом 8 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €50 000CF = €10 500n = 8

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 3,5%n = 6

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 045 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 10,5 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 25 базисних пунктів.

P₀ = €1 045y = 7%D = 10,5Δy = +25 bp

P = €

7.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1,5. Вартість власного капіталу 10%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 20%. Знайдіть WACC.

D/E = 1,5r_e = 10%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €48,00 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.

β = 1,8r_f = 3%r_m = 8%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 35, 34, 22, 13, 43.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 600?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,3 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€25: p = 0,3€100: p = 0,02

E(G) = €

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4581. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,4581

z =

14.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −7,2 і стандартне відхилення 4,1. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = −7,2s_d = 4,199%t(15) = 2,947

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 27. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 27E = 0,599%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 72,75 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,75s = 20n = 64

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 1,5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 11. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 90%δ = 1,5σ = 11z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 55?

n = 6ŷ = 55

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 5309 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,03·2 = 0,06

e^0,06 = 1,062

Майбутня вартість

FV = 5 000·1,062 = €5 309,18

Відповідь

FV = €5 309,18

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 20199 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·12 = 144

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,909 − 1)/0,0045 = €20 198,59

Відповідь

FV = €20 198,59

Самі ви внесли €14 400; решта — відсотки.

3.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,579 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 8 500/1,1 = 7 727,27 → Σ = 7 727,27

рік 2: 8 500/1,21 = 7 024,79 → Σ = 14 752,07

рік 3: 8 500/1,331 = 6 386,18 → Σ = 21 138,24

рік 4: 8 500/1,464 = 5 805,61 → Σ = 26 943,86

рік 5: 8 500/1,611 = 5 277,83 → Σ = 32 221,69

Частка останнього року

DPB = 4 + 3 056,14/5 277,83 = 4,579

Відповідь

DPB = 4,579 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,529 років).

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 13,23 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 50 000/10 500 = 4,762

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 13%: 4,799

i = 14%: 4,639

IRR = 13,23%

Відповідь

IRR = 13,23%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 973,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €15,00, i = 0,0175, N = 12

Теперішня вартість купонів

€15,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €161,09

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8121 = €812,06

Ціна

P = €973,15

Відповідь

P = €973,15

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1019 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 10,5/1,07 = 9,813

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −9,813·(0,0025) = −2,453%

P ≈ 1045·(1 − 0,02453) = €1 019,36

Відповідь

P = €1 019,36

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,44 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4

D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6

WACC

WACC = 0,4·10% + 0,6·3%·(1 − 0,2) = 5,44%

Відповідь

WACC = 5,44%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,38 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€48,00 = €192 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 1,8·5% = 12%

Ваги

V = €232 800 000, E/V = 0,8247, D/V = 0,1753

WACC

WACC = 0,8247·12% + 0,1753·3,5%·(1 − 0,21) = 10,38%

Відповідь

WACC = 10,38%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 11,84

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 147/5 = 29,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,6² + 4,6² + (−7,4)² + (−16,4)² + 13,6² = 561,2

Стандартне відхилення

s = √(561,2/4) = 11,84

Відповідь

s = 11,84

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

11.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8888

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,9

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,4

Дисперсія

Var(X) = 4,4 − 1,9² = 0,79

σ = √0,79 = 0,8888

Відповідь

σ = 0,8888

12.Імовірність

Відповідь: E(G) = 4,5 €

Чисті результати

G: 20 (p = 0,3), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,68)

Математичне сподівання

E(G) = 20·0,3 + 95·0,02 − 5·0,68 = 4,5 €

Відповідь

E(G) = 4,5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,61

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,4581)/2 = 0,7291

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7291 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,61

Відповідь

z = 0,61

14.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −4,179 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 2,947

Похибка оцінки

E = 2,947·4,1/√16 = 3,021

Інтервал

−7,2 ± 3,021 → [−10,22, −4,179]

Відповідь

верхня межа = −4,179 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 19350

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·27/0,5)² = 19350

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 19350

Відповідь

n = 19350

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Статистика критерію

t = (72,75 − 75)/2,5 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 461

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,282)·11/1,5)² = 460,7

Округліть угору

n = 461

Відповідь

n = 461

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8535

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 79,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 52²/(40·79,2) = 0,8535

Відповідь

r² = 0,8535

Близько 85,35% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,414

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 357/6 = 59,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72,5

Лінія регресії

b = 72,5/17,5 = 4,143

a = 59,5 − 4,143·5,5 = 36,71

ŷ = 36,71 + 4,143·x

Розв’яжіть щодо x

x = (55 − 36,71)/4,143 = 4,414

Відповідь

x = 4,414

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income