Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 2 років.

PV = €2 0002% / 4n = 2

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €12 0004,2% / 12N = 72

A = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €14 000, €8 000, €15 000, €14 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 8 000CF₃ = 15 000CF₄ = 14 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €20 000 приносить €3 000 наприкінці кожного року протягом 10 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €20 000CF = €3 000n = 10

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 5 років. Її дохідність до погашення змінюється з 7% до 5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 6%n = 5y₁ = 7%y₂ = 5%

ΔP = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з 16 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%) продається за €1 262. Емітент може достроково викупити її через 5 років за ціною викупу €1 080. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.

F = €1 000купон = 8%P = €1 262ціна викупу = €1 080дострокове погашення через 5 роки

YTC = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.

E = €10 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €15,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.

β = 0,9r_f = 3%r_m = 9,5%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 14, 17, 55, 13, 51.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 74?

μ = 70σ = 10x = 74

P =

11.ІмовірністьСередня

У мішечку 6 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

6 / 8

P =

12.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,3 і €10 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€4: p = 0,3€10: p = 0,05

E(G) = €

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,7673. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7673

z =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 1,9 і стандартне відхилення 0,6. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = 1,9s_d = 0,690%t(8) = 1,86

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,3 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?

p ≈ 0,3E = 0,0399%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 74,1 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74,1s = 5n = 100

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 98,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 98,9σ = 12n = 8190%

L =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 16?

n = 5ŷ = 16

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 2081 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·2 = 8

Майбутня вартість

FV = 2 000·(1 + 0,005)⁸ = 2 000·1,041 = €2 081,41

Відповідь

FV = €2 081,41

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 188,8 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·6 = 72

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,7776

A = 12 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €188,84

Відповідь

A = €188,84

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 15065 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 14 000/1,05 = 13 333,33

CF₂/(1 + 0,05)² = 8 000/1,103 = 7 256,24

CF₃/(1 + 0,05)³ = 15 000/1,158 = 12 957,56

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 14 000/1,216 = 11 517,83

Додайте

NPV = €15 064,97

Відповідь

NPV = €15 064,97

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 8,144 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 20 000/3 000 = 6,667

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 8%: 6,71

i = 9%: 6,418

IRR = 8,144%

Відповідь

IRR = 8,144%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = 84,3 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €60,00, i = 0,07, N = 5

€60,00·(1 − 0,713)/0,07 + €1 000·0,713 = €246,01 + €712,99 = €959,00

Ціна за нової дохідності

C = €60,00, i = 0,05, N = 5

€60,00·(1 − 0,7835)/0,05 + €1 000·0,7835 = €259,77 + €783,53 = €1 043,29

Зміна

ΔP = 1 043,29 − 959,00 = €84,30

Відповідь

ΔP = €84,30

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTC = 3,658 %

Рівняння для дохідності

1262 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

Чисельний розв’язок

y = 3%: €1 297,99

y = 4%: €1 243,83

YTC = 3,658%

Відповідь

YTC = 3,658%

Дохідність до погашення 5,496%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,113 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,258) = 9,113%

Відповідь

WACC = 9,113%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,111 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€15,50 = €62 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 0,9·6,5% = 8,85%

Ваги

V = €72 500 000, E/V = 0,8552, D/V = 0,1448

WACC

WACC = 0,8552·8,85% + 0,1448·5%·(1 − 0,25) = 8,111%

Відповідь

WACC = 8,111%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 21,1

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 150/5 = 30

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−16)² + (−13)² + 25² + (−17)² + 21² = 1780

Стандартне відхилення

s = √(1780/4) = 21,1

Відповідь

s = 21,1

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,1648

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648

Відповідь

P = 0,1648

12.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,7 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 3 (p = 0,3), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)

Математичне сподівання

E(G) = 3·0,3 + 9·0,05 − 1·0,65 = 0,7 €

Відповідь

E(G) = 0,7 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,73

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,7673 = 0,2327

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,2327 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,73

Відповідь

z = −0,73

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 253,4 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Відповідь

x = 253,37 g

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 2,272 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 1,86

Похибка оцінки

E = 1,86·0,6/√9 = 0,372

Інтервал

1,9 ± 0,372 → [1,528, 2,272]

Відповідь

верхня межа = 2,272 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1549

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,3·0,7/0,03² = 1548

Округліть угору

n = 1549

Відповідь

n = 1549

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Статистика критерію

t = (74,1 − 75)/0,5 = −1,8

Відповідь

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 96,71

Похибка оцінки

E = 1,645·12/√81 = 2,193

Межа інтервалу

L = 98,9 − 2,193 = 96,71

Відповідь

L = 96,71

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9777

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 275/6 = 45,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 652,8

Коефіцієнт кореляції

r = 209/√(70·652,8) = 0,9777

Відповідь

r = 0,9777

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,161

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Лінія регресії

b = 124/40 = 3,1

a = 18,6 − 3,1·6 = 0

ŷ = 0 + 3,1·x

Розв’яжіть щодо x

x = (16 − 0)/3,1 = 5,161

Відповідь

x = 5,161

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income