Ануїтет виплачує €1 000 наприкінці кожного року протягом 14 років. Процентна ставка 5 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 000i = 5%n = 14
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €250 0005,4% / 12N = 300
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €80 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €1 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €80 000M = €1 000n = 8r = 12%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 000, €10 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 10 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 2,5%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 9 років і продається за €940. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 9P = €940
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €24,00; балансова вартість її власного капіталу €72 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,20 на акцію, і дивіденди зростають на 2% на рік. Її борг має ринкову вартість €60 000 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 199,3 mm. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,3 mm
P =
14.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 85% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 елементів має середнє 39,5 і стандартне відхилення s = 16. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 25x̄ = 39,5s = 1690%t(24) = 1,711
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 8,7 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.
n = 16s = 8,7 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 118,6 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,6s = 8n = 64
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 25 вимірювань має середнє 72,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 72,3σ = 5n = 2595%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 22). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 22)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 9899 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5051)/0,05 = 9,899
Теперішня вартість
PV = 1 000·9,899 = €9 898,64
Відповідь
PV = €9 898,64
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1520 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·25 = 300
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,26
A = 250 000·0,0045/(1 − 0,26) = €1 520,32
Відповідь
A = €1 520,32
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 17104 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,12−8)/0,12 = 4,968
Ціна придбання, перерахована на рік
80 000/4,968 = 16 104,23
EAC
EAC = 16 104,23 + 1 000 = €17 104,23
Відповідь
EAC = €17 104,23
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 7,185 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(5%) = 714,29
NPV(10%) = −867,77
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 5 + 5·714,29/(714,29 − (−867,77)) = 7,257%
точно: NPV(7,185%) = 0 → IRR = 7,185%
Відповідь
IRR = 7,185%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1160 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,0125, N = 14
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,8404)/0,0125 = €319,26
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8404 = €840,37
Ціна
P = €1 159,63
Відповідь
P = €1 159,63
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,959 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Чисельний розв’язок
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €937,53
YTM = 7,959%
Відповідь
YTM = 7,959%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,267 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·14% + 0,6667·3%·(1 − 0,2) = 6,267%
Відповідь
WACC = 6,267%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,933 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Відповідь
P = 0,9772
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,6651
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Відповідь
P = 0,6651
12.Імовірність
Відповідь: σY = 18,84
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 22,5, Var(X) = 88,75, σX = 9,421
Лінійна зміна
σY = |−2|·9,421 = 18,84
Відповідь
σY = 18,84
Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·22,5 + 4 = −41.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9192
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Стандартизуйте
z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192
Відповідь
P = 0,9192
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 458 h
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,15
z з таблиці
z ≈ −1,04
Назад до початкових одиниць
x = 500 − 1,04·40 = 458 h
Відповідь
x = 458 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 34,02
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Похибка оцінки
E = 1,711·16/√25 = 5,475
Інтервал
39,5 ± 5,475 → [34,02, 44,98]
Відповідь
нижня межа = 34,02
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 6,427 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 15·8,7² = 1135
Межі для σ²
1135/27,488 = 41,3
1135/6,262 = 181,3
Межа для σ
σ = √41,3 = 6,427 µm
Відповідь
σ = 6,427 µm
95 % інтервал для σ: [6,427, 13,47] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Статистика критерію
t = (118,6 − 120)/1 = −1,4
Відповідь
t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 74,26
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·5/√25 = 1,96
Межа інтервалу
U = 72,3 + 1,96 = 74,26
Відповідь
U = 74,26
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,957
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 120,8
Коефіцієнт детермінації
r² = −34²/(10·120,8) = 0,957
Відповідь
r² = 0,957
Близько 95,7% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −4,65
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Лінія регресії
b = −35/10 = −3,5
a = 21,4 − (−3,5)·3 = 31,9
ŷ = 31,9 − 3,5·x
Прогнозоване значення
ŷ = 31,9 + (−3,5)·1,5 = 26,65
Залишок
e = 22 − 26,65 = −4,65
Відповідь
e = −4,65
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.