Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 7 років.
PV = €1 0002% / 4n = 7
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €1 000 на початку кожного року протягом 19 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 6 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 19? Знайдіть FV.
A = €1 000i = 6%n = 19
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €24 000, €22 000, €23 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €15 000, €17 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 17 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 8 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 5,5%n = 8
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 12 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 9%) продається за €1 159. Емітент може достроково викупити її через 5 років за ціною викупу €1 090. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 9%P = €1 159ціна викупу = €1 090дострокове погашення через 5 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,6. Вартість власного капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 30%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,6re = 8%rd = 4%T = 30%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 1 000 000 акцій по €35,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 88?
μ = 70σ = 12x = 88
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 4 червоних і 4 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
4 / 4
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €40 з імовірністю 0,1 і €200 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€40: p = 0,1€200: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9109. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9109
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 20%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 109 і стандартне відхилення s = 1,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 109s = 1,599%t(9) = 3,25
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 4. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 4E = 199%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 507,3 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 507,3s = 20n = 64
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 20 з 80 пацієнтів, які отримували лікування A, і 13 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 13n₂ = 100
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 21). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 21)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 1150 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = r/m = 0,02/4 = 0,005
N = m·n = 4·7 = 28
Майбутня вартість
FV = 1 000·(1 + 0,005)28 = 1 000·1,15 = €1 149,87
Відповідь
FV = €1 149,87
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 35786 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,06)19 − 1)/0,06 = 33,76
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 1 000·33,76·1,06 = €35 785,59
Відповідь
FV = €35 785,59
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −17720 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 24 000/1,1 = 21 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 22 000/1,21 = 18 181,82
CF3/(1 + 0,1)3 = 23 000/1,331 = 17 280,24
Додайте
NPV = €−17 719,76
Відповідь
NPV = €−17 719,76
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 18,88 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 1 275,99
NPV(20%) = −347,22
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, i = 0,0275, N = 16
Теперішня вартість купонів
€10,00·(1 − 0,6479)/0,0275 = €128,05
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6479 = €647,87
Ціна
P = €775,92
Відповідь
P = €775,92
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 6,724 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1159 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Чисельний розв’язок
y = 6%: €1 193,62
y = 7%: €1 146,17
YTC = 6,724%
Відповідь
YTC = 6,724%
Дохідність до погашення 6,998%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,05 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·4%·(1 − 0,3) = 6,05%
Відповідь
WACC = 6,05%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,76 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Відповідь
P = 0,06681
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2143
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Відповідь
P = 0,2143
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −4 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 30 (p = 0,1), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Математичне сподівання
E(G) = 30·0,1 + 190·0,01 − 10·0,89 = −4 €
Відповідь
E(G) = −4 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,7
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9109)/2 = 0,9554
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9554 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,70
Відповідь
z = 1,70
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 87,38 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Назад до x
x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 балів
Відповідь
x = 87,38 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 107,5
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Похибка оцінки
E = 3,25·1,5/√10 = 1,542
Інтервал
109 ± 1,542 → [107,5, 110,5]
Відповідь
нижня межа = 107,5
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 107
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·4/1)² = 106,2
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 107
Відповідь
n = 107
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,92
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Статистика критерію
t = (507,3 − 500)/2,5 = 2,92
Відповідь
t = 2,92
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,068
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 20/80 = 0,25
p̂₂ = 13/100 = 0,13
p̂ = 33/180 = 0,1833
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,1833·0,8167·(1/80 + 1/100)) = 0,05804
Статистика критерію
z = (0,25 − 0,13)/0,05804 = 2,068
Відповідь
z = 2,068
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9906
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 13568 − 110·605/5 = 258
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 74901 − 605²/5 = 1696
Коефіцієнт кореляції
r = 258/√(40·1696) = 0,9906
Відповідь
r = 0,9906
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 2,21
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 98/6 = 16,33
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43
Лінія регресії
b = −43/17,5 = −2,457
a = 16,33 − (−2,457)·3,5 = 24,93
ŷ = 24,93 − 2,457·x
Прогнозоване значення
ŷ = 24,93 + (−2,457)·2,5 = 18,79
Залишок
e = 21 − 18,79 = 2,21
Відповідь
e = 2,21
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.