Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩIR2​AR4​20 ΩBR6​12 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​10 ΩBIs​2 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VA (відносно землі).

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
VA = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 6 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩAR5​30 ΩBIs​6 A−+V2​12 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VA (відносно землі).

V1 = 18 VIs = 6 AV2 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω
VA = V
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 10 ΩIR1​R2​ = 6 Ω+−V1​15 VR3​4 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 Ω
IR1 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 4 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR4​25 ΩAR5​20 ΩB+−V2​18 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I2 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 30 VV2 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 25 ΩR3 = 25 ΩR4 = 25 ΩR5 = 20 Ω
I2 = A
7.Метод накладанняСередня
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBIs​1 A

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 18 VIs = 1 AR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 25 ΩR2​ = 2 ΩIR2​R4​ = 12 Ω+−V1​10 VR3​30 ΩAIs​4 AB+−V2​15 V

За методом накладання знайдіть потужність PR2, яку споживає R2.

V1 = 10 VIs = 4 AV2 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 2 ΩR3 = 30 ΩR4 = 12 Ω
PR2 = W
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAIs​4 ABab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 30 VIs = 4 AR1 = 25 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​R2​ = 47 kΩV1​ = 1,4 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1,6 VR3​ = 10 kΩR4​ = 47 kΩ

Диференціальний підсилювач використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V, R3 = R1 і R4 = R2. Знайдіть напругу V− на інвертувальному вході.

V1 = 1,4 VV2 = 1,6 VR1 = R3 = 10 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
V− = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = −0,1 VR1​ = 22 kΩV2​ = −1,3 VR2​ = 47 kΩ

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

V1 = −0,1 VV2 = −1,3 VR1 = 22 kΩR2 = 47 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL10 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 VR1​ = 20 ΩR2​ = 15 Ωзамикається при t = 0L47 mHi(t)

Ключ паралельно R2 був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R2. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

Vs = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,884 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 20 + 5 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω
Req = R1 + 6,061 = 6 + 6,061 = 12,06 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/12,06 = 2,487 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,487·6 = 15,08 V
IR2 = VA/R2 = 15,08/8 = 1,884 A

Відповідь

IR2 = 1,884 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,142 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAR4​20 ΩBR6​12 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 6 + 12 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 9,474 Ω
R3 + 9,474 = 39,47 Ω
R2 ∥ 39,47 = 15,31 Ω
Req = R1 + 15,31 = 4 + 15,31 = 19,31 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 36/19,31 = 1,865 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1,865·4 = 28,54 V
IR2 = VA/R2 = 28,54/25 = 1,142 A

Відповідь

IR2 = 1,142 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 4,706 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​10 ΩBIs​2 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 6 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 6)/3 + (VA − VB)/20 = 0
0,5833·VA − 0,05·VB = 2

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/20 = 2
−0,05·VA + 0,15·VB = 2

Розв’яжіть

Δ = (0,5833)(0,15) − (−0,05)(−0,05) = 0,085
VA = Δ1/Δ = 0,4/0,085 = 4,706 V
VB = Δ2/Δ = 1,267/0,085 = 14,9 V

Відповідь

VA = 4,706 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 19,71 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 6 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩAR5​30 ΩBIs​6 A−+V2​12 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 18 V, V2 = −12 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 18)/6 + (VA − VB)/30 = 0
0,24·VA − 0,03333·VB = 3

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/30 + (VB − (−12))/20 = 6
−0,03333·VA + 0,1167·VB = 5,4

Розв’яжіть

Δ = (0,24)(0,1167) − (−0,03333)(−0,03333) = 0,02689
VA = Δ1/Δ = 0,53/0,02689 = 19,71 V
VB = Δ2/Δ = 1,396/0,02689 = 51,92 V

Відповідь

VA = 19,71 V
5.Метод контурних струмів

Відповідь: IR1 = 0,4355 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 10 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​15 VR3​4 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 4(I1 − I2) = 15
14·I1 − 4·I2 = 15

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
6·I2 + 4(I2 − I1) = (−24)
−4·I1 + 10·I2 = −24

Розв’яжіть

Δ = (14)(10) − (−4)(−4) = 124
I1 = Δ1/Δ = 54/124 = 0,4355 A
I2 = Δ2/Δ = −276/124 = −2,226 A

Відповідь

IR1 = I1 = 0,4355 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I2 = 0,4515 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 4 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR4​25 ΩAR5​20 ΩB+−V2​18 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
4·I1 + 25(I1 − I2) = 30
29·I1 − 25·I2 = 30

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
25·I2 + 25(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−25·I1 + 70·I2 − 20·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
25·I3 + 20(I3 − I2) = (−18)
−20·I2 + 45·I3 = −18

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 51625
I1 = Δ1/Δ = 73500/51625 = 1,424 A
I2 = Δ2/Δ = 23310/51625 = 0,4515 A
I3 = Δ3/Δ = −10290/51625 = −0,1993 A

Відповідь

I2 = 0,4515 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: IR1 = 2 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBОБРИВ

Випадок 1 · діє лише V1

Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.

R3+R4 = 15+3 = 18 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 8·18/(8+18) = 5,538 Ω
VA = 18·5,538/(3+5,538) = 11,68 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 11,68·3/18 = 1,946 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (18 − 11,68)/3 = 2,108 A
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​8 ΩAR4​3 ΩBIs​1 A

Випадок 2 · діє лише Is

V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.

R1 ∥ R2 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 3 ∥ 17,18 = 2,554 Ω
VB = Is·Req = 1·2,554 = 2,554 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 2,554·2,182/17,18 = 0,3243 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 0,3243)/3 = −0,1081 A

Додайте складові

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 2,108 + (−0,1081) = 2 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

8.Метод накладання

Відповідь: PR2 = 8,671 W

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 25 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​10 VR3​30 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 30 ∥ 14 = 9,545 Ω
VA = 10·9,545/(25+9,545) = 2,763 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,763·12/14 = 2,368 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (2,763 − 2,368)/2 = 0,1974 A
R1​ = 25 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 12 ΩКЗR3​30 ΩAIs​4 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 13,64 Ω, тож лівий шлях — R2+13,64 = 15,64 Ω
Req = R4 ∥ 15,64 = 6,789 Ω
VB = Is·Req = 4·6,789 = 27,16 V
VA = VB·13,64/15,64 = 23,68 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (23,68 − 27,16)/2 = −1,737 A
R1​ = 25 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 12 ΩКЗR3​30 ΩAОБРИВB+−V2​15 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 25·30/(25+30) = 13,64 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·15,64/27,64 = 8,487 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 8,487·13,64/15,64 = 7,401 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (7,401 − 8,487)/2 = −0,5428 A

Додайте внески струму

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴ = 0,1974 + (−1,737) + (−0,5428) = −2,082 A

Потужність у резисторі

Потужність залежить від квадрата струму, тож метод накладання до неї не застосовний: спочатку додайте струми, потім піднесіть до квадрата.

PR2 = IR2²·R2 = (−2,082)²·2 = 8,671 W

Відповідь

PR2 = 8,671 W

Сума потужностей окремих випадків дала б 6,7 W, а це неправильно.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 7,105 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​15 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 15 = 18,16 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·15/(4+15) = 7,105 V
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = −56,97 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​8 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 25·8/(25+8) = 6,061 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,061 + 10 = 16,06 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,273 + (−4)·6,061 = −16,97 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −16,97 + (−4)·10 = −56,97 V
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V− = 1,319 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на входах

Через R₃ і R₄ тече однаковий струм, тож вони утворюють подільник напруги; зворотний зв’язок забезпечує V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,6·47/(10 + 47) = 1,319 V
V₋ = V₊

Відповідь

V− = 1,319 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = 0,7085 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I1 = V1/R1 = −0,1/22 = −0,004545 mA
I2 = V2/R2 = −1,3/47 = −0,02766 mA
If = I1 + I2 = −0,03221 mA

Вихідна напруга

Vout = −Rf·If = −22·(−0,03221) = 0,7085 V

Відповідь

Vout = 0,7085 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1987 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0,2 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,2·(1 − e−1/0,2) = 0,1987 A

Відповідь

i = 0,1987 A
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,4745 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 10/(20 + 15) = 0,2857 A
i(∞) = 10/20 = 0,5 A
τ = L/R = 47/20 = 2,35 ms
i(t) = 0,5 + (0,2857 − 0,5)·e−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 0,5 + (−0,2143)·e−5/2,35 = 0,4745 A

Відповідь

i = 0,4745 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1