Теорія електричних кіл 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Метод контурних струмів

Закон напруг Кірхгофа
ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор
струм = I1 − I2
Джерело струму в контурі
задає струм цього контуру

Метод

  1. Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
  2. Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
  3. У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
  4. Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод накладання

Метод накладання
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Вимкнене джерело напруги
коротке замикання (0 V)
Вимкнене джерело струму
розрив (0 A)
Подільник напруги
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Подільник струму
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
  2. Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
  3. Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
  4. Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​6 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 25 ΩR4 = 4 ΩR5 = 30 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​8 Ω+−V1​18 VR2​4 Ω+−V2​6 VR3​10 Ω−+V3​12 VI3​A

Між вузлом A і землею ввімкнено три вітки, як показано на схемі. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм I3 у вітці 3, що тече вгору у вузол A в напрямку стрілки.

V1 = 18 VR1 = 8 ΩV2 = 6 VR2 = 4 ΩV3 = 12 VR3 = 10 Ω
I3 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 6 ΩR2​ = 2 ΩIR2​R4​ = 8 Ω+−V1​6 VR3​25 ΩAR5​4 ΩBIs​4 A−+V2​9 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 6 VIs = 4 AV2 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩR4 = 8 ΩR5 = 4 Ω
IR2 = A
5.Метод контурних струмівСередня
R1​ = 6 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I2 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 15 VV2 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 Ω
I2 = A
6.Метод контурних струмівСкладна
R1​ = 20 ΩR2​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR4​3 ΩAR5​5 ΩB+−V2​6 VI1​I2​I3​

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I3 (за годинниковою стрілкою).

V1 = 18 VV2 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 ΩR5 = 5 Ω
I3 = A
7.Метод накладанняСередня
лінійне колоVs​Is​IRL​

Лінійне резистивне коло містить одне джерело напруги Vs і одне джерело струму Is. Струм I через резистор навантаження виміряли двічі: при Vs = 20 V і Is = 1 mA I = 5,4 mA; при Vs = 6 V і Is = 5 mA I = 3,5 mA. Знайдіть струм навантаження I при Vs = 8 V і Is = 2 mA.

20 V, 1 mA → 5,4 mA6 V, 5 mA → 3,5 mAVs = 8 V, Is = 2 mA
I = mA
8.Метод накладанняСкладна
R1​ = 25 ΩR2​ = 20 ΩIR2​R4​ = 10 Ω+−V1​18 VR3​10 ΩAIs​4 AB+−V2​15 V

Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR2 через R2 у напрямку стрілки.

V1 = 18 VIs = 4 AV2 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
9.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 20 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
10.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAIs​3 ABab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 6 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
11.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 47 kΩVin​ = 2 VRa​ = 22 kΩRb​ = 100 kΩ

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.

Vin = 2 VRa = 22 kΩRb = 100 kΩR1 = 47 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
12.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 1,8 VR1​ = 1 kΩV2​ = 0,5 VR3​ = 100 kΩR4​ = 22 kΩ

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Відношення опорів не узгоджені. Знайдіть вихідну напругу Vout.

V1 = 1,8 VV2 = 0,5 VR1 = 1 kΩR2 = 2 kΩR3 = 100 kΩR4 = 22 kΩ
Vout = V
13.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​5 Vt = 0R = 22 ΩL33 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 99% кінцевого значення? Знайдіть t.

Vs = 5 VR = 22 ΩL = 33 mH
t = ms
14.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 kΩC?+−vC​

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 15 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 13,5 V, рівно через 250 ms після старту. При R = 47 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

Vs = 15 VVth = 13,5 VT = 250 msR = 47 kΩ
C = µF

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 4,526 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 4 + 12 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2,526 Ω
Req = R1 + 2,526 = 2 + 2,526 = 4,526 Ω

Відповідь

Req = 4,526 Ω
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,369 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAR4​4 ΩBR6​6 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 30 + 6 = 36 Ω
R4 ∥ 36 = 3,6 Ω
R3 + 3,6 = 28,6 Ω
R2 ∥ 28,6 = 8,453 Ω
Req = R1 + 8,453 = 3 + 8,453 = 11,45 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 6/11,45 = 0,5239 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,5239·3 = 4,428 V
IR2 = VA/R2 = 4,428/12 = 0,369 A

Відповідь

IR2 = 0,369 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: I3 = −1,737 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Нижній провід візьміть за землю. Кожна вітка проводить від A струм (VA − Vk)/Rk, де Vk — напруга її джерела (нуль для простого резистора). Сума струмів, що виходять з A, дорівнює нулю.

(VA − 18)/8 + (VA − 6)/4 + (VA − (−12))/10 = 0

Знайдіть VA

VA = (18/8 + 6/4 + (−12)/10) / (1/8 + 1/4 + 1/10) = 2,55/0,475 = 5,368 V

Струм гілки

Стрілка спрямована вгору вздовж вітки, у вузол A.

I3 = ((−12) − VA)/R3 = ((−12) − 5,368)/10 = −1,737 A

Відповідь

I3 = −1,737 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR2 = −0,2975 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 6 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​6 VR3​25 ΩAR5​4 ΩBIs​4 A−+V2​9 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 6 V, V2 = −9 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 6)/6 + (VA − VB)/2 = 0
0,7067·VA − 0,5·VB = 1

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/4 + (VB − VA)/2 + (VB − (−9))/8 = 4
−0,5·VA + 0,875·VB = 2,875

Розв’яжіть

Δ = (0,7067)(0,875) − (−0,5)(−0,5) = 0,3683
VA = Δ1/Δ = 2,313/0,3683 = 6,278 V
VB = Δ2/Δ = 2,532/0,3683 = 6,873 V

Відповідь

IR2 = (VA − VB)/R2 = (6,278 − 6,873)/2 = −0,2975 A
5.Метод контурних струмів

Відповідь: I2 = −0,125 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 6 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
6·I1 + 12(I1 − I2) = 15
18·I1 − 12·I2 = 15

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
12·I2 + 12(I2 − I1) = (−12)
−12·I1 + 24·I2 = −12

Розв’яжіть

Δ = (18)(24) − (−12)(−12) = 288
I1 = Δ1/Δ = 216/288 = 0,75 A
I2 = Δ2/Δ = −36/288 = −0,125 A

Відповідь

I2 = −0,125 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

6.Метод контурних струмів

Відповідь: I3 = −0,5567 A

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

R1​ = 20 ΩR2​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR4​3 ΩAR5​5 ΩB+−V2​6 VI1​I2​I3​

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I1, I2, I3. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
20·I1 + 3(I1 − I2) = 18
23·I1 − 3·I2 = 18

ЗНК для контуру 2

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
10·I2 + 3(I2 − I1) + 5(I2 − I3) = 0
−3·I1 + 18·I2 − 5·I3 = 0

ЗНК для контуру 3

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
6·I3 + 5(I3 − I2) = (−6)
−5·I2 + 11·I3 = −6

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 3880
I1 = Δ1/Δ = 3024/3880 = 0,7794 A
I2 = Δ2/Δ = −96/3880 = −0,02474 A
I3 = Δ3/Δ = −2160/3880 = −0,5567 A

Відповідь

I3 = −0,5567 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

7.Метод накладання

Відповідь: I = 2,8 mA

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

Запишіть відгук як суму внесків

Кожен внесок пропорційний своєму джерелу з коефіцієнтом, що залежить лише від резисторів.

I = k₁·Vs + k₂·Is
20·k₁ + 1·k₂ = 5,4
6·k₁ + 5·k₂ = 3,5

Знайдіть коефіцієнти

Δ = (20)(5) − (1)(6) = 94
k₁ = Δ1/Δ = 23,5/94 = 0,25
k₂ = Δ2/Δ = 37,6/94 = 0,4
k₁ = 0,25 mA/V, k₂ = 0,4

Обчисліть новий струм

I = 0,25·8 + 0,4·2 = 2,8 mA

Відповідь

I = 2,8 mA
8.Метод накладання

Відповідь: IR2 = −1,342 A

Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.

R1​ = 25 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​18 VR3​10 ΩAОБРИВBКЗ

Випадок 1 · діє лише V1

V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 10 ∥ 30 = 7,5 Ω
VA = 18·7,5/(25+7,5) = 4,154 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,154·10/30 = 1,385 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (4,154 − 1,385)/20 = 0,1385 A
R1​ = 25 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 10 ΩКЗR3​10 ΩAIs​4 ABКЗ

Випадок 2 · діє лише Is

Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 7,143 Ω, тож лівий шлях — R2+7,143 = 27,14 Ω
Req = R4 ∥ 27,14 = 7,308 Ω
VB = Is·Req = 4·7,308 = 29,23 V
VA = VB·7,143/27,14 = 7,692 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (7,692 − 29,23)/20 = −1,077 A
R1​ = 25 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 10 ΩКЗR3​10 ΩAОБРИВB+−V2​15 V

Випадок 3 · діє лише V2

V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.

R1 ∥ R3 = 25·10/(25+10) = 7,143 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·27,14/37,14 = 10,96 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 10,96·7,143/27,14 = 2,885 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (2,885 − 10,96)/20 = −0,4038 A

Додайте складові

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴
IR2 = 0,1385 + (−1,077) + (−0,4038) = −1,342 A

Від’ємний результат означає, що насправді струм тече проти стрілки.

9.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,3913 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​6 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,615 + 6 = 10,62 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·6/(20+6) = 4,154 V
IN​0,3913 ARth​10,62 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 4,154/10,62 = 0,3913 A
10.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 51 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩКЗR2​10 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 12 = 15,75 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,75 + 3·3,75 = 15 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 15 + 3·12 = 51 V
11.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = 3,279 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 2·100/(22 + 100) = 1,639 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 1,639·(1 + 47/47) = 3,279 V

Відповідь

Vout = 3,279 V
12.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: Vout = −3,33 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0,5·22/(100 + 22) = 0,09016 V

Накладіть дію двох входів

При V₂ = 0 для V₁ схема — інвертувальний підсилювач. При V₁ = 0 V₊ підсилюється з коефіцієнтом неінвертувального підсилювача 1 + R₂/R₁.

Vout = −(2/1)·1,8 + (1 + 2/1)·0,09016 = −3,6 + 0,2705 = −3,33 V

Відповідь

Vout = −3,33 V
13.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 6,908 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms
i(∞) = Vs/R = 5/22 = 0,2273 A

Виразіть час

0,99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)
t = −1,5·ln(0,01) = 6,908 ms

Відповідь

t = 6,908 ms
14.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 2,31 µF

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Потрібна стала часу

13,5 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 13,5))
τ = 250/2,303 = 108,6 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 108,6/47 = 2,31 µF

Відповідь

C = 2,31 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1