Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Запишіть z = −2 + j6 у показниковій формі r·e^jθ. Дайте θ у радіанах, між −π і π.

z = −2 + j6

θ = rad

2.Комплексні числаСкладна

Один із коренів z³ + z² − 12z + 40 = 0 дорівнює z₁ = 2 + j2. Коефіцієнти дійсні. Знайдіть дійсний корінь r.

z₁ = 2 + j2

r =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 22 µF має резонувати на частоті 5000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 5000 HzC = 22 µF

L = mH

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 10 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 4 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 (ємнісним). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 240 VP₁ = 10 kW, pf₁ = 0,7 відстаючийP₂ = 4 kW, pf₂ = 0,8 ємнісний

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть новий струм лінії I_new.

P = 15 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Послідовний RLC-контур має R = 22 Ом, L = 4,7 mH і C = 4,7 nF. Знайдіть його смугу пропускання BW в Hz.

R = 22 ΩL = 4,7 mHC = 4,7 nF

BW = Hz

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Частоти половинної потужності резонансної кривої дорівнюють 20 kHz і 24 kHz. Знайдіть резонансну частоту як їхнє середнє геометричне, а потім добротність Q.

f₁ = 20 kHzf₂ = 24 kHz

Q =

9.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 7 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 415 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 415 VZ = 7 + j24 Ω на фазу

P = kW

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 99% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 100 mH

t = ms

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 5,4 V, рівно через 250 ms після старту. При R = 2,2 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 250 msR = 2,2 kΩ

C = µF

13.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 12 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

14.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 6 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 12 VI_s = 2 AR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

15.Діаграми Боде та запасиСередня

Знайдіть фазу ∠G(jω) функції G(s) = 40(s + 5)/(s(s + 3)) за ω = 10 rad/s, у градусах.

G(s) = 40(s + 5)/(s(s + 3))ω = 10 rad/s

∠G(jω) = °

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 9/(s(s + 1)). Знайдіть запас за фазою PM у градусах.

L(s) = 9/(s(s + 1))

PM = °

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = 1,893 rad

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль

r = √(4 + 36) = 6,325

Аргумент у радіанах

θ = 108,4° = 108,4·π/180 = 1,893 rad

Показникова форма

z = 6,325·e^j1,893

Відповідь

θ = 1,893 rad

2.Комплексні числа

Відповідь: r = −5

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Спряжена пара

z₂ = 2 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 2²) = z² − 4z + 8

Винесіть квадратний множник

z³ + z² − 12z + 40 = (z² − 4z + 8)(z + 5)

Дійсний корінь

r = −5

Відповідь

r = −5

Перевірте сумою коренів: z₁ + z₂ + r = 4 + (−5) = −1 = −(1).

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 0,04606 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·22·10⁻⁶) = 0,04606 mH

Відповідь

L = 0,04606 mH

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 92,62 Ω

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 38,77 − j48,72 Ω

Повний опір

Z = 40 + 38,77 − j48,72 = 78,77 − j48,72 Ω

|Z| = √(78,77² + 48,72²) = 92,62 Ω

Відповідь

|Z| = 92,62 Ω

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 65,6 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 10·tan(arccos 0,7) = 10,2 kvar

Q₂ = −4·tan(arccos 0,8) = −3 kvar

Сумарні значення

P = 10 + 4 = 14 kW

Q = 10,2 + (−3) = 7,202 kvar

S = √(14² + 7,202²) = 15,74 kVA

Загальний струм

I = S/V = 15744/240 = 65,6 A

Відповідь

I = 65,6 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I_new = 40,76 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(45,57°) = 15,3 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8,913 kvar

Новий струм лінії

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(400·0,92) = 40,76 A

Відповідь

I_new = 40,76 A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: BW = 745 Hz

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Смуга пропускання в рад/с

R/L = 22/0,0047 = 4681 rad/s

Смуга пропускання в Гц

BW = 4681/(2π) = 745 Hz = 745 Hz

Відповідь

BW = 745 Hz

При f₀ = 33,86 kHz це дає Q = 45,45.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: Q = 5,477

Резонансна частота

f₀ = √(20000·24000) = 21909 Hz

Смуга пропускання

BW = 24000 − 20000 = 4000 Hz

Добротність

Q = 21909/4000 = 5,477

Відповідь

Q = 5,477

9.Трифазні системи

Відповідь: P = 1,929 kW

Фазна напруга

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Фазний струм

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 239,6/25 = 9,584 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,584²·7 = 1,929 kW

Відповідь

P = 1,929 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,28, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 552,1 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,72) = 300·0,9639 = 289,2 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 143,9 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 47953/(377·480²) = 552,1 µF

Відповідь

C_ph = 552,1 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 9,21 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0,12 A

Виразіть час

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −2·ln(0,01) = 9,21 ms

Відповідь

t = 9,21 ms

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 124 µF

Потрібна стала часу

5,4 = 9·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 250/0,9163 = 272,8 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 272,8/2,2 = 124 µF

Відповідь

C = 124 µF

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,2027 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,667 + 6 = 12,67 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·15/(12+15) = 5 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5/(12,67 + 12) = 0,2027 A

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 1,742 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 3 = 7,286 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,571 + 2·4,286 = 17,14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 17,14 + 2·3 = 23,14 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 23,14/(7,286 + 6) = 1,742 A

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ∠G(jω) = −99,87 °

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Додайте кути

∠G = atan(10/5) − 90° − atan(10/3) = 63,43° − 90° − 73,3°

Результат

∠G(j10) = −99,87°

Відповідь

∠G(jω) = −99,87°

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: PM = 18,92 °

Зріз за підсиленням

ω⁴ + 1ω² − 81 = 0

ω² = (−1 + √(1 + 4·81))/2 = 8,514

ω_c = 2,918 rad/s

Запас за фазою

∠L(jω_c) = −90° − atan(2,918/1) = −161,1°

PM = 180° + ∠L = 18,92°

Відповідь

PM = 18,92°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль

Аргумент у радіанах

Показникова форма

Відповідь

Спряжена пара

Винесіть квадратний множник

Дійсний корінь

Відповідь

Умова резонансу

Відповідь

Реактивний опір

Паралельне з’єднання

Повний опір

Відповідь

Реактивна потужність кожного навантаження

Сумарні значення

Загальний струм

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Новий струм лінії

Відповідь

Смуга пропускання в рад/с

Смуга пропускання в Гц

Відповідь

Резонансна частота

Смуга пропускання

Добротність

Відповідь

Фазна напруга

Фазний струм

Сумарна активна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Виразіть час

Відповідь

Потрібна стала часу

Ємність

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Додайте кути

Результат

Відповідь

Зріз за підсиленням

Запас за фазою

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу