Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Діаграма показує z = −3 + j. Для w = 2∠90° клікніть точку, що зображує z·w.

z = −3 + jw = 2∠90°

1A (−2 − j6)
2B (2 + j6)
3C (−6 + j2)
4D (−1 − j3)

2.Комплексні числаСкладна

Знайдіть уявну частину (−2 + j)⁴.

z = −2 + jn = 4

Im(z⁴) =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

I = A

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 23 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним) і нагрівач потужністю 3 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 240 VP₁ = 23 kW, pf₁ = 0,85 відстаючийP₂ = 3 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,65 (індуктивним) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 100 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 12 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 50 HzC = 100 µF

I = A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Послідовний RLC-контур має R = 2 Ом, L = 470 µH і C = 470 nF. Знайдіть його добротність Q.

R = 2 ΩL = 470 µHC = 470 nF

Q =

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Заряджений конденсатор 4,7 nF розряджається через котушку 10 µH із повним послідовним опором 1 Ом, тож коливання повільно згасають. Його амплітуда спадає як e^−Rt/(2L). Скільки циклів коливань n проходить, поки амплітуда зменшиться вдвічі? (Втрати малі, тож частота дорівнює f₀.)

L = 10 µHC = 4,7 nFR = 1 Ω

n =

9.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 110 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 91%, а коефіцієнт потужності 0,86, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 110 kWη = 91%cos φ = 0,86V_L = 480 V

I_L = A

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 50% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 8,4 V? Знайдіть t.

V_s = 9 VR = 2,2 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

14.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 6 Ω. За допомогою еквівалента Тевенена знайдіть потужність P_L, що передається навантаженню.

V₁ = 9 VI_s = 2,5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

15.Діаграми Боде та запасиСередня

У показаному послідовному смуговому RLC-фільтрі вихід знімають з R = 5 Ω, при L = 5 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть центральну (резонансну) частоту f₀ у Hz.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

f₀ = Hz

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 72/(s(s + 4)(s + 5)). Знайдіть частоту перетину за фазою ω₁₈₀, де ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 72/(s(s + 4)(s + 5))

ω₁₈₀ = rad/s

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: A (−2 − j6)

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Дія w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

Точка

z·w = −2 − j6 → A

Відповідь

A (−2 − j6)

2.Комплексні числа

Відповідь: Im(z⁴) = −24

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Степені крок за кроком

z² = (−2 + j)(−2 + j) = 3 − j4

z³ = (3 − j4)(−2 + j) = −2 + j11

z⁴ = (−2 + j11)(−2 + j) = −7 − j24

Перевірка за Муавром

z = 2,236∠153,4° → z⁴ = 25∠−106,3°

Im(z⁴) = −24

Відповідь

Im(z⁴) = −24

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,03701 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (640,7)²) = 648,5 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/648,5 = 0,03701 A

Відповідь

I = 0,03701 A

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 355,9 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Відповідь

f₀ = 355,9 Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 123,5 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 23·tan(arccos 0,85) = 14,25 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 23 + 3 = 26 kW

Q = 14,25 + 0 = 14,25 kvar

S = √(26² + 14,25²) = 29,65 kVA

Загальний струм

I = S/V = 29651/240 = 123,5 A

Відповідь

I = 123,5 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 74,92 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 12·tan(arccos 0,65) = 14,03 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1662 var = 1,662 kvar

Q₂ = 14,03 − 1,662 = 12,37 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(12² + 12,37²) = 17,23 kVA

Новий струм лінії

I = S₂/V = 17232/230 = 74,92 A

Відповідь

I = 74,92 A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: Q = 15,81

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Характеристичний опір

√(L/C) = √(0,00047/4,7 × 10⁻⁷) = 31,62 Ω

Добротність

Q = 31,62/2 = 15,81

Відповідь

Q = 15,81

Резонансна частота дорівнює 10,71 kHz, тож BW = f₀/Q = 677,3 Hz.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: n = 10,18

Час зменшення амплітуди вдвічі

t = 2·1 × 10⁻⁵·ln 2/1 = 1,386 × 10⁻⁵ s

Кількість циклів

n = t·f₀ = 1,386 × 10⁻⁵·734127 = 10,18

Відповідь

n = 10,18

Скорочення: n = Q·ln 2/π при Q = 46,13.

9.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 169,1 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 110/0,91 = 120,9 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 120879/(√3·480·0,86) = 169,1 A

Відповідь

I_L = 169,1 A

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 415,9 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,8) = 250·0,75 = 187,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 81 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 27000/(377·415²) = 415,9 µF

Відповідь

C_ph = 415,9 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,6931 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0,4255 A

Виразіть час

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −1·ln(0,5) = 0,6931 ms

Відповідь

t = 0,6931 ms

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 52,82 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 9 + (8 − 9)·e^−t/τ

Виразіть час

8,4 = 9 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,4 − 9)/(8 − 9) = 0,6

t = τ·ln((8 − 9)/(8,4 − 9)) = 103,4·ln(1,667) = 52,82 ms

Відповідь

t = 52,82 ms

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: R_th = 14 Ω

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 8 = 14 Ω

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: P_L = 31,53 W

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 2·20/(2+20) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 25 = 26,82 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,182 + 2,5·1,818 = 12,73 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12,73 + 2,5·25 = 75,23 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 75,23/(26,82 + 6) = 2,292 A

P_L = I_L²·R_L = 2,292²·6 = 31,53 W

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: f₀ = 3283 Hz

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Резонансна частота

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7 × 10⁻⁷) = 20628 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 3283 Hz

Відповідь

f₀ = 3283 Hz

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ω₁₈₀ = 4,472 rad/s

Перетин за фазою

(ω/4)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·5) = 4,472 rad/s

Відповідь

ω₁₈₀ = 4,472 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Дія w

Точка

Відповідь

Степені крок за кроком

Перевірка за Муавром

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Відповідь

Резонанс

Відповідь

Реактивна потужність кожного навантаження

Сумарні значення

Загальний струм

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Нова повна потужність

Новий струм лінії

Відповідь

Характеристичний опір

Добротність

Відповідь

Час зменшення амплітуди вдвічі

Кількість циклів

Відповідь

Електрична вхідна потужність

Струм лінії

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Виразіть час

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Виразіть час

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Резонансна частота

Відповідь

Перетин за фазою

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу