Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Нехай z₁ = 2∠40° і z₂ = 1,5∠110°; знайдіть аргумент θ числа w = z₁·z₂ у градусах, між −180° і 180°.

z₁ = 2∠40°z₂ = 1,5∠110°

θ = °

2.Комплексні числаСкладна

Один із коренів z³ + 9z² + 31z + 39 = 0 дорівнює z₁ = −3 + j2. Коефіцієнти дійсні. Знайдіть дійсний корінь r.

z₁ = −3 + j2

r =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 22 µF

φ = °

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 10 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 50 ΩL = 10 mHC = 0,01 µF

B = Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 26 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним) і навантаження 28 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 230 VP₁ = 26 kW, pf₁ = 0,75 відстаючийP₂ = 28 kW, pf₂ = 0,7 відстаючий

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 15 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Конденсатор 470 pF, заряджений до 12 В, коливається з ідеальною котушкою 22 mH. Знайдіть енергію W_L, запасену в котушці в мить, коли напруга на конденсаторі дорівнює 6 В, в nJ.

C = 470 pFV₀ = 12 Vv_C = 6 V

W_L = nJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Заряджений конденсатор 470 nF розряджається через котушку 2,2 mH із повним послідовним опором 10 Ом, тож коливання повільно згасають. Його амплітуда спадає як e^−Rt/(2L). Скільки циклів коливань n проходить, поки амплітуда зменшиться вдвічі? (Втрати малі, тож частота дорівнює f₀.)

L = 2,2 mHC = 470 nFR = 10 Ω

n =

9.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 7 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 208 VZ = 7 + j24 Ω на фазу

P = kW

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

V_s = 10 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 22 µF

τ = ms

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 6,2 V? Знайдіть t.

V_s = 5 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

14.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 4 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 10 VI_s = 0,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

15.Діаграми Боде та запасиСередня

RC-фільтр нижніх частот на рисунку має R = 22 kΩ, C = 100 nF. На вхід подають синусоїдний сигнал 290 Hz. Знайдіть фазовий зсув φ сигналу v_out відносно v_in, у градусах.

R = 22 kΩC = 100 nFf = 290 Hz

φ = °

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 3 dB.

L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10))GM = 3 dB

K =

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = 150 °

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль і аргумент w

|w| = 2 · 1,5 = 3

θ = 40° + 110° = 150°

Аргумент

θ = 150°

Відповідь

θ = 150°

2.Комплексні числа

Відповідь: r = −3

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Спряжена пара

z₂ = −3 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13

Винесіть квадратний множник

z³ + 9z² + 31z + 39 = (z² + 6z + 13)(z + 3)

Дійсний корінь

r = −3

Відповідь

r = −3

Перевірте сумою коренів: z₁ + z₂ + r = −6 + (−3) = −9 = −(9).

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −47,79 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−66,15)²) = 89,3 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−66,15/60) = −47,79°

Відповідь

φ = −47,79°

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 795,8 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,01·10⁻⁶)) = 15915 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,01/(0,01·10⁻⁶)) = 20

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 15915/20 = 795,8 Hz

Відповідь

B = 795,8 Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 324,4 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 26·tan(arccos 0,75) = 22,93 kvar

Q₂ = 28·tan(arccos 0,7) = 28,57 kvar

Сумарні значення

P = 26 + 28 = 54 kW

Q = 22,93 + 28,57 = 51,5 kvar

S = √(54² + 51,5²) = 74,62 kVA

Загальний струм

I = S/V = 74618/230 = 324,4 A

Відповідь

I = 324,4 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 492,6 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(45,57°) = 15,3 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8,913 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 8913/(2π·50·240²) = 492,6 µF

Відповідь

C = 492,6 µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: W_L = 25,38 nJ

LC-резонанс: заряджений конденсатор, підключений до котушки індуктивності, породжує струм, який заряджає його в протилежний бік: енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²) на власній частоті f₀ = 1/(2π√(LC)). Без опору повна енергія ½CV₀² стала, тож піковий струм дорівнює I_max = V₀√(C/L). Один період — T = 1/f₀; енергія переходить від C до L за чверть періоду.

Повна енергія

½·4,7 × 10⁻¹⁰·12² = 3,384 × 10⁻⁸ J

Енергія, що лишилася в конденсаторі

½·4,7 × 10⁻¹⁰·6² = 8,46 × 10⁻⁹ J

Енергія в котушці

W_L = 2,538 × 10⁻⁸ J = 25,38 nJ

Відповідь

W_L = 25,38 nJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: n = 1,51

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Час зменшення амплітуди вдвічі

t = 2·0,0022·ln 2/10 = 0,000305 s

Кількість циклів

n = t·f₀ = 0,000305·4949 = 1,51

Відповідь

n = 1,51

Скорочення: n = Q·ln 2/π при Q = 6,842.

9.Трифазні системи

Відповідь: P = 0,4846 kW

Фазна напруга

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Фазний струм

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 120,1/25 = 4,804 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·4,804²·7 = 0,4846 kW

Відповідь

P = 0,4846 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,28, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 496 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 96,61 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 32202/(377·415²) = 496 µF

Відповідь

C_ph = 496 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 39,67 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 kΩ

v_C(∞) = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 V

Стала часу

τ = R_th·C = 1,803·22 = 39,67 ms

Відповідь

τ = 39,67 ms

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 292,8 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

Виразіть час

6,2 = 5 + (3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (6,2 − 5)/(8 − 5) = 0,4

t = τ·ln((8 − 5)/(6,2 − 5)) = 319,6·ln(2,5) = 292,8 ms

Відповідь

t = 292,8 ms

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 0,2778 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 6 = 13,5 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·12/(20+12) = 3,75 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 3,75/13,5 = 0,2778 A

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,6348 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 30 = 33,53 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,059 + 0,5·3,529 = 8,824 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8,824 + 0,5·30 = 23,82 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 23,82/(33,53 + 4) = 0,6348 A

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: φ = −75,99 °

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Частота зрізу

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·1 × 10⁻⁷) = 454,5 rad/s

f_c = 72,34 Hz → f/f_c = 290/72,34 = 4,009

Фаза

φ = − atan(4,009) = −75,99°

Відповідь

φ = −75,99°

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: K = 1019

Перетин за фазою

(ω/8)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(8·10) = 8,944 rad/s

Модуль на перетині за фазою

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 64)·√(ω² + 100)) = K/(8·10·(8 + 10)) = K/1440

Потрібне підсилення

1440/K = 10^3/20 = 1,413

K = 1440/1,413 = 1019

Відповідь

K = 1019

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль і аргумент w

Аргумент

Відповідь

Спряжена пара

Винесіть квадратний множник

Дійсний корінь

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Кут зсуву фаз

Відповідь

Резонансна частота

Добротність

Смуга пропускання

Відповідь

Реактивна потужність кожного навантаження

Сумарні значення

Загальний струм

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Ємність

Відповідь

Повна енергія

Енергія, що лишилася в конденсаторі

Енергія в котушці

Відповідь

Час зменшення амплітуди вдвічі

Кількість циклів

Відповідь

Фазна напруга

Фазний струм

Сумарна активна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Стала часу

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Виразіть час

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Частота зрізу

Фаза

Відповідь

Перетин за фазою

Модуль на перетині за фазою

Потрібне підсилення

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу