Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Повний опір і комплексні амплітуди
Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z
Метод
Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Власна частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Енергія
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм
Imax = V0√(C/L)
Добротність
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоти половинної потужності
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди
e−Rt/(2L)
Метод
Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
Перехідні процеси RC і RL
Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ
Метод
Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Тевенен і Нортон
Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Метод
Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.
2Задачі для практики
1.Комплексні числаСередня
Діаграма показує z = 2 + j2. Для w = 0,5∠90° клікніть точку, що зображує z/w.
z = 2 + j2w = 0,5∠90°
1A (−4 + j4)
2B (2 − j2)
3C (1 − j)
4D (4 − j4)
2.Комплексні числаСкладна
Корені рівняння zⁿ = w з n = 3 і w = 27∠120° мають вигляд zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Знайдіть аргумент z₁ у градусах, між −180° і 180°.
w = 27∠120°n = 3k = 1
θ₁ = °
3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 10 µF
P = W
4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Резистор R1 увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R2 і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR1 = 30 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
До однофазної мережі 400 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 15 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним) і навантаження 27 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазний трансформатор потужністю 75 kVA живить навантаження 24 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?
Smax = 75 kVAP1 = 24 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня
Паралельний RLC-контур має R = 4,7 кОм, L = 47 µH і C = 47 nF. Знайдіть його добротність Q.
R = 4,7 kΩL = 47 µHC = 47 nF
Q =
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна
Послідовний резонансний контур має котушку 4,7 mH. Який повний послідовний опір R дає смугу пропускання 500 Hz?
L = 4,7 mHBW = 500 Hz
R = Ω
9.Трифазні системиСередня
Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 12 + j5 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.
VL = 400 VZ = 12 + j5 Ω на фазу
P = kW
10.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 120 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.
P = 120 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.Перехідні процеси RC і RLСередня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms
i = A
12.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 5,4 V, рівно через 20 ms після старту. При R = 10 kΩ знайдіть потрібну ємність C.
Vs = 9 VVth = 5,4 VT = 20 msR = 10 kΩ
C = µF
13.Тевенен і НортонСередня
До a–b підключено навантаження RL = 15 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.
V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩRL = 15 Ω
IL = A
14.Тевенен і НортонСкладна
Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.
V1 = 12 VIs = 1 AR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
15.Діаграми Боде та запасиСередня
У показаному послідовному смуговому RLC-фільтрі вихід знімають з R = 50 Ω, при L = 10 mH і C = 0,22 µF. Знайдіть центральну (резонансну) частоту f0 у Hz.
R = 50 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF
f0 = Hz
16.Діаграми Боде та запасиСкладна
Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 6)(s + 9)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 15 dB.
L(s) = K/(s(s + 6)(s + 9))GM = 15 dB
K =
3Розчини
1.Комплексні числа
Відповідь: D (4 − j4)
Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.
Дія w
|z/w| = |z|/0,5, arg(z/w) = arg z − 90°
Точка
z/w = 4 − j4 → D
Відповідь
D (4 − j4)
2.Комплексні числа
Відповідь: θ₁ = 160 °
Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.
Модуль коренів
271/3 = 3
Аргумент кореня
θ₁ = (120° + 360°·1)/3 = 160°
Аргумент
θ₁ = 160°
Відповідь
θ₁ = 160°
3 коренів лежать на колі радіусом 3 на відстані 120° один від одного.
3.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: P = 20,46 W
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
XL = 125,7 Ω, XC = 159,2 Ω
Повний опір
|Z| = √(10² + (−33,49)²) = 34,95 Ω
Активна потужність
Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.
I = 50/34,95 = 1,431 A
P = I²·R = 1,431²·10 = 20,46 W
Відповідь
P = 20,46 W
4.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: I = 0,9417 A
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивний опір
XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω
Паралельне з’єднання
Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Zp на дійсну й уявну частини.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: cos φ = 0,9465
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність кожного навантаження
Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).
Q1 = 15·tan(arccos 0,75) = 13,23 kvar
Q2 = −27·tan(arccos 0,7) = −27,55 kvar
Сумарні значення
P = 15 + 27 = 42 kW
Q = 13,23 + (−27,55) = −14,32 kvar
S = √(42² + (−14,32)²) = 44,37 kVA
Загальний коефіцієнт потужності
cos φ = P/S = 42/44,37 = 0,9465 ємнісний
Відповідь
cos φ = 0,9465
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: ΔP = 47,95 kW
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність наявного навантаження
Q1 = 24·tan(arccos 0,75) = 21,17 kvar
Найбільша сумарна активна потужність
За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.
P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 21,17²) = 71,95 kW
Додаткова активна потужність
ΔP = 71,95 − 24 = 47,95 kW
Відповідь
ΔP = 47,95 kW
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: Q = 148,6
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Резонансна частота
ω₀ = 1/√(LC) = 672825 rad/s
Добротність
Q = R/(ω₀L) = 4700/(672825·4,7 × 10⁻⁵) = 148,6
Відповідь
Q = 148,6
Смуга пропускання дорівнює 1/(2πRC) = 720,5 Hz.
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: R = 14,77 Ω
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Смуга послідовного контуру
BW = R/(2πL)
Опір
R = 2π·0,0047·500 = 14,77 Ω
Відповідь
R = 14,77 Ω
9.Трифазні системи
Відповідь: P = 11,36 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазна напруга
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Фазний струм
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 230,9/13 = 17,76 A
Сумарна активна потужність
Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.
P = 3·Iph²·R = 3·17,76²·12 = 11,36 kW
Відповідь
P = 11,36 kW
Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,9231, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.
10.Трифазні системи
Відповідь: QC = 50,56 kvar
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,8) = 120·0,75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 50,56 kvar
Відповідь
QC = 50,56 kvar
11.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 0,05689 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Потрібна стала часу
5,4 = 9·(1 − e−20/τ) → τ = 20/ln(9/(9 − 5,4))
τ = 20/0,9163 = 21,83 ms
Ємність
kΩ помножити на µF дає мілісекунди.
C = τ/R = 21,83/10 = 2,183 µF
Відповідь
C = 2,183 µF
13.Тевенен і Нортон
Відповідь: IL = 0,2118 A
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 4·2/(4+2) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 12 = 13,33 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·2/(4+2) = 6 V
Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена
Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 6/(13,33 + 15) = 0,2118 A
14.Тевенен і Нортон
Відповідь: Vth = 13,67 V
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 10 = 11,67 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2 + 1·1,667 = 3,667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,667 + 1·10 = 13,67 V
15.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: f0 = 3393 Hz
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.
Резонансна частота
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·2,2 × 10⁻⁷) = 21320 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 3393 Hz
Відповідь
f0 = 3393 Hz
16.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: K = 144
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.