Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Нехай z₁ = 2∠55° і z₂ = 3∠80°; знайдіть аргумент θ числа w = z₁/z₂ у градусах, між −180° і 180°.

z₁ = 2∠55°z₂ = 3∠80°

θ = °

2.Комплексні числаСкладна

Рівно одна з точок A–D є коренем рівняння z⁶ = 64∠60°. Клікніть її.

w = 64∠60°n = 6

1A (2∠60°)
2B (2∠−50°)
3C (3,6∠−50°)
4D (2∠−20°)

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 2 Ω, L = 10 mH і C = 1 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 2 ΩL = 10 mHC = 1 µF

B = Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 15 kWpf = 0,65V = 230 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 25 kW з коефіцієнтом потужності 0,65 (індуктивним) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 330 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 25 kWpf₁ = 0,65V = 400 Vf = 50 HzC = 330 µF

I = A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Конденсатор 100 nF, заряджений до 24 В, коливається з ідеальною котушкою 4,7 mH. Знайдіть енергію W_L, запасену в котушці в мить, коли напруга на конденсаторі дорівнює 6 В, в µJ.

C = 100 nFV₀ = 24 Vv_C = 6 V

W_L = µJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Послідовний RLC-контур (R = 2 Ом, L = 22 mH, C = 1 µF) працює на резонансі з амплітудою струму 100 мА. Знайдіть енергію E_cycle, що розсіюється на R за один цикл, в µJ.

R = 2 ΩL = 22 mHC = 1 µFI_m = 100 mA

E_cycle = µJ

9.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 8 + j6 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 415 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 415 VZ = 8 + j6 Ω на фазу

P = kW

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть напругу v_R на R при t = 2 ms.

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

v_R = V

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 4 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 50 ms.

V_s = 12 VR = 2,2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 4 Vt = 50 ms

v_C = V

13.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 20 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 5 Ω. За допомогою еквівалента Тевенена знайдіть потужність P_L, що передається навантаженню.

V₁ = 30 VI_s = 2 AR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 5 Ω

P_L = W

15.Діаграми Боде та запасиСередня

Знайдіть фазу ∠G(jω) функції G(s) = 32(s + 8)/(s(s + 4)) за ω = 3 rad/s, у градусах.

G(s) = 32(s + 8)/(s(s + 4))ω = 3 rad/s

∠G(jω) = °

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 254/(s(s + 7)(s + 9)). Знайдіть запас за підсиленням GM у dB.

L(s) = 254/(s(s + 7)(s + 9))

GM = dB

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = −25 °

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль і аргумент w

|w| = 2 / 3 = 0,6667

θ = 55° − 80° = −25°

Аргумент

θ = −25°

Відповідь

θ = −25°

2.Комплексні числа

Відповідь: B (2∠−50°)

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Модуль і аргументи коренів

|z| = 2

θ = 10°, 70°, 130°, −170°, −110°, −50°

Точка

B = 2∠−50°

Відповідь

B (2∠−50°)

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2397 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (91,8)²) = 100,1 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/100,1 = 0,2397 A

Відповідь

I = 0,2397 A

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 31,83 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,01/(1·10⁻⁶)) = 50

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 1592/50 = 31,83 Hz

Відповідь

B = 31,83 Hz

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 100,3 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 15000/(230·0,65) = 100,3 A

Відповідь

I = 100,3 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 70,04 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 25·tan(arccos 0,65) = 29,23 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·330·10⁻⁶ = 16588 var = 16,59 kvar

Q₂ = 29,23 − 16,59 = 12,64 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(25² + 12,64²) = 28,01 kVA

Новий струм лінії

I = S₂/V = 28014/400 = 70,04 A

Відповідь

I = 70,04 A

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: W_L = 27 µJ

LC-резонанс: заряджений конденсатор, підключений до котушки індуктивності, породжує струм, який заряджає його в протилежний бік: енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²) на власній частоті f₀ = 1/(2π√(LC)). Без опору повна енергія ½CV₀² стала, тож піковий струм дорівнює I_max = V₀√(C/L). Один період — T = 1/f₀; енергія переходить від C до L за чверть періоду.

Повна енергія

½·1 × 10⁻⁷·24² = 2,88 × 10⁻⁵ J

Енергія, що лишилася в конденсаторі

½·1 × 10⁻⁷·6² = 1,8 × 10⁻⁶ J

Енергія в котушці

W_L = 2,7 × 10⁻⁵ J = 27 µJ

Відповідь

W_L = 27 µJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: E_cycle = 9,319 µJ

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Накопичена енергія

W = ½·0,022·0,1² = 0,00011 J

Добротність

Q = (1/2)·√(0,022/1 × 10⁻⁶) = 74,16

Втрачена за цикл енергія

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·0,00011/74,16 = 9,319 × 10⁻⁶ J = 9,319 µJ

перевірка: ½·0,1²·2/1073 = 9,319 × 10⁻⁶ J

Відповідь

E_cycle = 9,319 µJ

9.Трифазні системи

Відповідь: P = 13,78 kW

Фазна напруга

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Фазний струм

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I_ph = 239,6/10 = 23,96 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·23,96²·8 = 13,78 kW

Відповідь

P = 13,78 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

10.Трифазні системи

Відповідь: Q_C = 57,96 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,98) = 60·0,2031 = 12,18 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 57,96 kvar

Відповідь

Q_C = 57,96 kvar

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_R = 17,85 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

Спадання струму

i(t) = 3·e^−2/1,65 = 0,8927 A

v_R = R·i = 20·0,8927 = 17,85 V

Відповідь

v_R = 17,85 V

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 6,273 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 12 + (4 − 12)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(50) = 12 + (−8)·e^−50/149,6 = 6,273 V

Відповідь

v_C = 6,273 V

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,2941 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 4 = 5,5 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·2/(6+2) = 7,5 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 7,5/(5,5 + 20) = 0,2941 A

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: P_L = 20 W

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 10 = 14 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10 + 2·4 = 18 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18 + 2·10 = 38 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 38/(14 + 5) = 2 A

P_L = I_L²·R_L = 2²·5 = 20 W

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ∠G(jω) = −106,3 °

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Додайте кути

∠G = atan(3/8) − 90° − atan(3/4) = 20,56° − 90° − 36,87°

Результат

∠G(j3) = −106,3°

Відповідь

∠G(jω) = −106,3°

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: GM = 11,97 dB

Перетин за фазою

(ω/7)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(7·9) = 7,937 rad/s

Модуль на перетині за фазою

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 49)·√(ω² + 81)) = K/(7·9·(7 + 9)) = K/1008

Запас за підсиленням

GM = 20·log₁₀(1008/254) = 11,97 dB

Відповідь

GM = 11,97 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль і аргумент w

Аргумент

Відповідь

Модуль і аргументи коренів

Точка

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Відповідь

Резонансна частота

Добротність

Смуга пропускання

Відповідь

Струм лінії

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Нова повна потужність

Новий струм лінії

Відповідь

Повна енергія

Енергія, що лишилася в конденсаторі

Енергія в котушці

Відповідь

Накопичена енергія

Добротність

Втрачена за цикл енергія

Відповідь

Фазна напруга

Фазний струм

Сумарна активна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Відповідь

Стала часу

Спадання струму

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга в заданий момент

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Додайте кути

Результат

Відповідь

Перетин за фазою

Модуль на перетині за фазою

Запас за підсиленням

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу