Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Запишіть z = 4 + j6 у показниковій формі r·e^jθ. Дайте θ у радіанах, між −π і π.

z = 4 + j6

θ = rad

2.Комплексні числаСкладна

Один із коренів z³ + 4z² + 6z − 36 = 0 дорівнює z₁ = −3 + j3. Коефіцієнти дійсні. Знайдіть дійсний корінь r.

z₁ = −3 + j3

r =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 22 µF має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 200 HzC = 22 µF

L = mH

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF

V_C = V

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 21 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) і навантаження 9 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 230 VP₁ = 21 kW, pf₁ = 0,6 відстаючийP₂ = 9 kW, pf₂ = 0,7 відстаючий

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 35 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсатор.

P = 35 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Паралельний RLC-контур має R = 22 кОм, L = 1 mH і C = 2,2 nF. Знайдіть його добротність Q.

R = 22 kΩL = 1 mHC = 2,2 nF

Q =

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Частоти половинної потужності резонансної кривої дорівнюють 2 kHz і 3 kHz. Знайдіть резонансну частоту як їхнє середнє геометричне, а потім добротність Q.

f₁ = 2 kHzf₂ = 3 kHz

Q =

9.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 75 A від мережі з лінійною напругою 480 V. Коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 480 VI_L = 75 Acos φ = 0,9

P = kW

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 80 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 80 ms

v_C = V

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 750 ms.

V_s = 6 VR = 6,8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 18 Vt = 750 ms

v_C = V

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

14.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 30 VI_s = 1,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

15.Діаграми Боде та запасиСередня

Знайдіть точний модуль |G(jω)| функції G(s) = 1944/((s + 12)(s + 18)) за ω = 3 rad/s, у dB.

G(s) = 1944/((s + 12)(s + 18))ω = 3 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 16/(s(s + 2)(s + 3)). Знайдіть запас за підсиленням GM у dB.

L(s) = 16/(s(s + 2)(s + 3))

GM = dB

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = 0,9828 rad

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль

r = √(16 + 36) = 7,211

Аргумент у радіанах

θ = 56,31° = 56,31·π/180 = 0,9828 rad

Показникова форма

z = 7,211·e^j0,9828

Відповідь

θ = 0,9828 rad

2.Комплексні числа

Відповідь: r = 2

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Спряжена пара

z₂ = −3 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 3²) = z² + 6z + 18

Винесіть квадратний множник

z³ + 4z² + 6z − 36 = (z² + 6z + 18)(z − 2)

Дійсний корінь

r = 2

Відповідь

r = 2

Перевірте сумою коренів: z₁ + z₂ + r = −6 + 2 = −4 = −(4).

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 28,78 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·22·10⁻⁶) = 28,78 mH

Відповідь

L = 28,78 mH

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 2,233 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (770,9)²) = 777,4 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/777,4 = 0,1544 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,1544·14,47 = 2,233 V

Відповідь

V_C = 2,233 V

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,6279

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 21·tan(arccos 0,6) = 28 kvar

Q₂ = 9·tan(arccos 0,7) = 9,182 kvar

Сумарні значення

P = 21 + 9 = 30 kW

Q = 28 + 9,182 = 37,18 kvar

S = √(30² + 37,18²) = 47,78 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 30/47,78 = 0,6279 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,6279

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q_C = 33,81 kvar

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(49,46°) = 40,92 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(11,48°) = 7,107 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,81 kvar

Відповідь

Q_C = 33,81 kvar

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: Q = 32,63

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Резонансна частота

ω₀ = 1/√(LC) = 674200 rad/s

Добротність

Q = R/(ω₀L) = 22000/(674200·0,001) = 32,63

Відповідь

Q = 32,63

Смуга пропускання дорівнює 1/(2πRC) = 3,288 kHz.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: Q = 2,449

Резонансна частота

f₀ = √(2000·3000) = 2449 Hz

Смуга пропускання

BW = 3000 − 2000 = 1000 Hz

Добротність

Q = 2449/1000 = 2,449

Відповідь

Q = 2,449

9.Трифазні системи

Відповідь: P = 56,12 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·480·75 = 62,35 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 62,35·0,9 = 56,12 kW

Відповідь

P = 56,12 kW

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 382,1 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 69,15 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 23051/(377·400²) = 382,1 µF

Відповідь

C_ph = 382,1 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 0,4496 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 15·1/(10 + 1) = 1,364 V

Стала часу

τ = R_th·C = 0,9091·220 = 200 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 1,364·(1 − e^−80/200) = 0,4496 V

Відповідь

v_C = 0,4496 V

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 13,27 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(750) = 6 + (12)·e^−750/1496 = 13,27 V

Відповідь

v_C = 13,27 V

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 1,25 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,857 + 4 = 6,857 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·10/(4+10) = 8,571 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 8,571/6,857 = 1,25 A

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 2,929 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 5 = 7 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10 + 1,5·2 = 13 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13 + 1,5·5 = 20,5 V

Еквівалент Нортона

I_N = V_th/R_th = 20,5/7 = 2,929 A

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: |G(jω)| = 18,7 dB

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Перемножте модулі

|G(j3)| = 1944/(√(3² + 12²)·√(3² + 18²)) = 1944/(12,37·18,25) = 8,612

Результат

20·log₁₀(8,612) = 18,7 dB

Відповідь

|G(jω)| = 18,7 dB

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: GM = 5,46 dB

Перетин за фазою

(ω/2)·(ω/3) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·3) = 2,449 rad/s

Модуль на перетині за фазою

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 9)) = K/(2·3·(2 + 3)) = K/30

Запас за підсиленням

GM = 20·log₁₀(30/16) = 5,46 dB

Відповідь

GM = 5,46 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль

Аргумент у радіанах

Показникова форма

Відповідь

Спряжена пара

Винесіть квадратний множник

Дійсний корінь

Відповідь

Умова резонансу

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Напруга на конденсаторі

Відповідь

Реактивна потужність кожного навантаження

Сумарні значення

Загальний коефіцієнт потужності

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Відповідь

Резонансна частота

Добротність

Відповідь

Резонансна частота

Смуга пропускання

Добротність

Відповідь

Повна потужність

Активна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Стала часу

Крива заряджання

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга в заданий момент

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Перемножте модулі

Результат

Відповідь

Перетин за фазою

Модуль на перетині за фазою

Запас за підсиленням

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу