Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Знайдіть аргумент θ числа z = −8 − j2 у градусах, як головне значення між −180° і 180°.

z = −8 − j2

θ = °

2.Комплексні числаСкладна

Рівно одна з точок A–D є коренем рівняння z³ = 8∠60°. Клікніть її.

w = 8∠60°n = 3

1A (2∠−100°)
2B (1∠−100°)
3C (2∠80°)
4D (2∠−70°)

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 4 + j3 Ω під’єднано до однофазної мережі 240 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 240 VZ = 4 + j3 Ω

Q = var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 10 V (діюче значення), 1000 Hz має внутрішній опір Z_s = 25 + j5 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 10 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 25 + j5 Ω

P_max = W

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Конденсатор 10 µF, заряджений до 20 В, коливається з ідеальною котушкою 0,1 µH. Знайдіть енергію W_L, запасену в котушці в мить, коли напруга на конденсаторі дорівнює 8 В, в mJ.

C = 10 µFV₀ = 20 Vv_C = 8 V

W_L = mJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Послідовний RLC-контур (R = 1 Ом, L = 100 µH, C = 2,2 µF) працює на резонансі з амплітудою струму 50 мА. Знайдіть енергію E_cycle, що розсіюється на R за один цикл, в nJ.

R = 1 ΩL = 100 µHC = 2,2 µFI_m = 50 mA

E_cycle = nJ

9.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 7,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 92%, а коефіцієнт потужності 0,85, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 7,5 kWη = 92%cos φ = 0,85V_L = 415 V

I_L = A

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 1,5 A? Знайдіть t.

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 220 mH

t = ms

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 12 VR₁ = 22 ΩR₂ = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

14.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

15.Діаграми Боде та запасиСередня

Знайдіть фазу ∠G(jω) функції G(s) = 19(s + 19)/(s(s + 7)) за ω = 3 rad/s, у градусах.

G(s) = 19(s + 19)/(s(s + 7))ω = 3 rad/s

∠G(jω) = °

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 44/(s(s + 2)(s + 5)). Знайдіть запас за підсиленням GM у dB.

L(s) = 44/(s(s + 2)(s + 5))

GM = dB

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = −166 °

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Чверть

a = −8, b = −2 → III

Опорний кут

α = atan(2/8) = 14,04°

Аргумент

θ = −(180° − α) = −166°

Відповідь

θ = −166°

У полярній формі z = 8,246∠−166°.

2.Комплексні числа

Відповідь: A (2∠−100°)

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Модуль і аргументи коренів

|z| = 2

θ = 20°, 140°, −100°

Точка

A = 2∠−100°

Відповідь

A (2∠−100°)

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 78,86 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (152,3)²) = 155,3 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(152,3/30) = 78,86°

Відповідь

φ = 78,86°

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,08164 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (144,8)²) = 147 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/147 = 0,08164 A

Відповідь

I = 0,08164 A

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 6912 var

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 240/5 = 48 A

Реактивна потужність

Q = I²·X = 48²·3 = 6912 var

Відповідь

Q = 6912 var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 1 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 25 − j5 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 10/50 = 0,2 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·25) = 1 W

Відповідь

P_max = 1 W

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: W_L = 1,68 mJ

LC-резонанс: заряджений конденсатор, підключений до котушки індуктивності, породжує струм, який заряджає його в протилежний бік: енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²) на власній частоті f₀ = 1/(2π√(LC)). Без опору повна енергія ½CV₀² стала, тож піковий струм дорівнює I_max = V₀√(C/L). Один період — T = 1/f₀; енергія переходить від C до L за чверть періоду.

Повна енергія

½·1 × 10⁻⁵·20² = 0,002 J

Енергія, що лишилася в конденсаторі

½·1 × 10⁻⁵·8² = 0,00032 J

Енергія в котушці

W_L = 0,00168 J = 1,68 mJ

Відповідь

W_L = 1,68 mJ

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: E_cycle = 116,5 nJ

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Накопичена енергія

W = ½·1 × 10⁻⁴·0,05² = 1,25 × 10⁻⁷ J

Добротність

Q = (1/1)·√(1 × 10⁻⁴/2,2 × 10⁻⁶) = 6,742

Втрачена за цикл енергія

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·1,25 × 10⁻⁷/6,742 = 1,165 × 10⁻⁷ J = 116,5 nJ

перевірка: ½·0,05²·1/10730 = 1,165 × 10⁻⁷ J

Відповідь

E_cycle = 116,5 nJ

9.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 13,34 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 7,5/0,92 = 8,152 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8152/(√3·415·0,85) = 13,34 A

Відповідь

I_L = 13,34 A

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 2446 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 158,8 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 52931/(377·239,6²) = 2446 µF

Відповідь

C_ph = 2446 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 7,625 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

Виразіть час

1,5 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/1,5)

t = 11·ln(2) = 7,625 ms

Відповідь

t = 7,625 ms

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,3655 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 12/22 = 0,5455 A

i(∞) = 12/(22 + 15) = 0,3243 A

τ = L/R = 22/37 = 0,5946 ms

i(t) = 0,3243 + (0,5455 − 0,3243)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,3243 + (0,2211)·e^−1/0,5946 = 0,3655 A

Відповідь

i = 0,3655 A

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: R_th = 16,29 Ω

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 12 = 16,29 Ω

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 4,4 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 12 + 6 = 18 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,2 + 4·12 = 55,2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 55,2 + 4·6 = 79,2 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 79,2/18 = 4,4 A

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ∠G(jω) = −104,2 °

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Додайте кути

∠G = atan(3/19) − 90° − atan(3/7) = 8,973° − 90° − 23,2°

Результат

∠G(j3) = −104,2°

Відповідь

∠G(jω) = −104,2°

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: GM = 4,033 dB

Перетин за фазою

(ω/2)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·5) = 3,162 rad/s

Модуль на перетині за фазою

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 25)) = K/(2·5·(2 + 5)) = K/70

Запас за підсиленням

GM = 20·log₁₀(70/44) = 4,033 dB

Відповідь

GM = 4,033 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Чверть

Опорний кут

Аргумент

Відповідь

Модуль і аргументи коренів

Точка

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Кут зсуву фаз

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Відповідь

Струм

Реактивна потужність

Відповідь

Спряжене узгодження

Максимальна потужність

Відповідь

Повна енергія

Енергія, що лишилася в конденсаторі

Енергія в котушці

Відповідь

Накопичена енергія

Добротність

Втрачена за цикл енергія

Відповідь

Електрична вхідна потужність

Струм лінії

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу

Виразіть час

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Струм у заданий момент

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Додайте кути

Результат

Відповідь

Перетин за фазою

Модуль на перетині за фазою

Запас за підсиленням

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу