Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Нехай z₁ = 3∠−35° і z₂ = 4∠65°; знайдіть дійсну частину w = z₁·z₂.

z₁ = 3∠−35°z₂ = 4∠65°

Re(w) =

2.Комплексні числаСкладна

Корені рівняння zⁿ = w з n = 2 і w = 16∠135° мають вигляд z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Знайдіть дійсну частину z₀.

w = 16∠135°n = 2k = 0

Re(z₀) =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 100 mH

φ = °

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 100 µF

V_C = V

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 400 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 8 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 11 kW з коефіцієнтом потужності 0,9 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 400 VP₁ = 8 kW, pf₁ = 0,7 відстаючийP₂ = 11 kW, pf₂ = 0,9 ємнісний

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 20 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 20 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Послідовний RLC-контур має R = 100 Ом, L = 4,7 mH і C = 4,7 nF. Знайдіть його добротність Q.

R = 100 ΩL = 4,7 mHC = 4,7 nF

Q =

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Послідовний резонансний контур має котушку 4,7 mH. Який повний послідовний опір R дає смугу пропускання 100 kHz?

L = 4,7 mHBW = 100 kHz

R = Ω

9.Трифазні системиСередня

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 30 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 93%, а коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм I_L.

P_out = 30 kWη = 93%cos φ = 0,82V_L = 480 V

I_L = A

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 3 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 4,4 V? Знайдіть t.

V_s = 5 VR = 3,3 kΩC = 10 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

14.Тевенен і НортонСкладна

Знайдіть струм Нортона I_N: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

15.Діаграми Боде та запасиСередня

Знайдіть фазу ∠G(jω) функції G(s) = 22(s + 9)/(s(s + 6)) за ω = 0,5 rad/s, у градусах.

G(s) = 22(s + 9)/(s(s + 6))ω = 0,5 rad/s

∠G(jω) = °

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 70/(s(s + 4)). Знайдіть частоту зрізу за підсиленням ω_c, де |L(jω)| = 1.

L(s) = 70/(s(s + 4))

ω_c = rad/s

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: Re(w) = 10,39

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль і аргумент w

|w| = 3 · 4 = 12

θ = −35° + 65° = 30°

Алгебраїчна форма

Re(w) = 12·cos(30°) = 10,39

Im(w) = 12·sin(30°) = 6

Re(w) = 10,39

Відповідь

Re(w) = 10,39

2.Комплексні числа

Відповідь: Re(z₀) = 1,531

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Модуль коренів

16^1/2 = 4

Аргумент кореня

θ₀ = (135° + 360°·0)/2 = 67,5°

Алгебраїчна форма

z₀ = 4·(cos 67,5° + j sin 67,5°) = 1,531 + j3,696

Re(z₀) = 1,531

Відповідь

Re(z₀) = 1,531

2 коренів лежать на колі радіусом 4 на відстані 180° один від одного.

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 52,98 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·60·0,1 = 37,7 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 12/50 = 0,24 A

I_X = V/X_L = 12/37,7 = 0,3183 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,3183²) = 0,3986 A

Кут зсуву фаз

Струм котушки відстає від V, тож загальний струм відстає, і кут додатний.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,3183/0,24) = 52,98°

Відповідь

φ = 52,98°

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 17,83 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (15,29)²) = 21,42 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/21,42 = 0,5602 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,5602·31,83 = 17,83 V

Відповідь

V_C = 17,83 V

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9891

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 8·tan(arccos 0,7) = 8,162 kvar

Q₂ = −11·tan(arccos 0,9) = −5,328 kvar

Сумарні значення

P = 8 + 11 = 19 kW

Q = 8,162 + (−5,328) = 2,834 kvar

S = √(19² + 2,834²) = 19,21 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 19/19,21 = 0,9891 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,9891

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 320,3 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(49,46°) = 23,38 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(11,48°) = 4,061 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19,32 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 19321/(2π·60·400²) = 320,3 µF

Відповідь

C = 320,3 µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: Q = 10

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Характеристичний опір

√(L/C) = √(0,0047/4,7 × 10⁻⁹) = 1000 Ω

Добротність

Q = 1000/100 = 10

Відповідь

Q = 10

Резонансна частота дорівнює 33,86 kHz, тож BW = f₀/Q = 3,386 kHz.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: R = 2953 Ω

Смуга послідовного контуру

BW = R/(2πL)

Опір

R = 2π·0,0047·100000 = 2953 Ω

Відповідь

R = 2953 Ω

9.Трифазні системи

Відповідь: I_L = 47,32 A

Електрична вхідна потужність

P_in = P_out/η = 30/0,93 = 32,26 kW

Струм лінії

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 32258/(√3·480·0,82) = 47,32 A

Відповідь

I_L = 47,32 A

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 467,2 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25,28 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8426/(314,2·239,6²) = 467,2 µF

Відповідь

C_ph = 467,2 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,4661 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0,6 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6·(1 − e^−1/0,6667) = 0,4661 A

Відповідь

i = 0,4661 A

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 39,73 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms

v_C(t) = 5 + (3 − 5)·e^−t/τ

Виразіть час

4,4 = 5 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4,4 − 5)/(3 − 5) = 0,3

t = τ·ln((3 − 5)/(4,4 − 5)) = 33·ln(3,333) = 39,73 ms

Відповідь

t = 39,73 ms

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: R_th = 16 Ω

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·2/(2+2) = 1 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1 + 15 = 16 Ω

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_N = 2,203 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 10 = 14,8 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3 + 2·4,8 = 12,6 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12,6 + 2·10 = 32,6 V

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

I_N = V_th/R_th = 32,6/14,8 = 2,203 A

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ∠G(jω) = −91,58 °

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Додайте кути

∠G = atan(0,5/9) − 90° − atan(0,5/6) = 3,18° − 90° − 4,764°

Результат

∠G(j0,5) = −91,58°

Відповідь

∠G(jω) = −91,58°

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ω_c = 7,903 rad/s

Зріз за підсиленням

ω⁴ + 16ω² − 4900 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·4900))/2 = 62,46

ω_c = 7,903 rad/s

Відповідь

ω_c = 7,903 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль і аргумент w

Алгебраїчна форма

Відповідь

Модуль коренів

Аргумент кореня

Алгебраїчна форма

Відповідь

Реактивний опір

Струми віток

Загальний струм

Кут зсуву фаз

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Напруга на конденсаторі

Відповідь

Реактивна потужність кожного навантаження

Сумарні значення

Загальний коефіцієнт потужності

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Ємність

Відповідь

Характеристичний опір

Добротність

Відповідь

Смуга послідовного контуру

Опір

Відповідь

Електрична вхідна потужність

Струм лінії

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Струм у заданий момент

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Виразіть час

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Еквівалент Нортона

Додайте кути

Результат

Відповідь

Зріз за підсиленням

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу