Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Повний опір і комплексні амплітуди
Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z
Метод
Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Власна частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Енергія
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм
Imax = V0√(C/L)
Добротність
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоти половинної потужності
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди
e−Rt/(2L)
Метод
Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
Перехідні процеси RC і RL
Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ
Метод
Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Тевенен і Нортон
Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Метод
Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.
2Задачі для практики
1.Комплексні числаСередня
Знайдіть аргумент θ числа z = −8 − j4 у градусах, як головне значення між −180° і 180°.
z = −8 − j4
θ = °
2.Комплексні числаСкладна
Корені рівняння zⁿ = w з n = 5 і w = 32∠45° мають вигляд zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Знайдіть уявну частину z₁.
w = 32∠45°n = 5k = 1
Im(z₁) =
3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mH
|Z| = Ω
4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.
V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF
VC = V
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Навантаження з повним опором Z = 5 + j12 Ω під’єднано до однофазної мережі 240 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.
V = 240 VZ = 5 + j12 Ω
Q = var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 20 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,98. Знайдіть потрібну ємність C.
P = 20 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня
Паралельний RLC-контур має R = 4,7 кОм, L = 10 mH і C = 10 nF. Знайдіть його добротність Q.
R = 4,7 kΩL = 10 mHC = 10 nF
Q =
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна
Заряджений конденсатор 2,2 nF розряджається через котушку 470 µH із повним послідовним опором 20 Ом, тож коливання повільно згасають. Його амплітуда спадає як e−Rt/(2L). Скільки циклів коливань n проходить, поки амплітуда зменшиться вдвічі? (Втрати малі, тож частота дорівнює f₀.)
L = 470 µHC = 2,2 nFR = 20 Ω
n =
9.Трифазні системиСередня
Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 55 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 94%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм IL.
Pout = 55 kWη = 94%cos φ = 0,88VL = 480 V
IL = A
10.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 75 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.Перехідні процеси RC і RLСередня
Через котушку тече сталий струм 2,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.
i(0) = 2,5 AR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
12.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Ключ паралельно R2 був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R2. Знайдіть струм котушки i при t = 15 ms.
Vs = 20 VR1 = 15 ΩR2 = 33 ΩL = 220 mHt = 15 ms
i = A
13.Тевенен і НортонСередня
Знайдіть опір Тевенена Rth з боку затискачів a–b.
V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
14.Тевенен і НортонСкладна
До a–b підключено навантаження RL = 2 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.
RC-фільтр нижніх частот на рисунку має R = 4,7 kΩ, C = 100 nF. На вхід подають синусоїдний сигнал 1,4 kHz. Знайдіть коефіцієнт підсилення |H| = |vout/vin| у dB.
R = 4,7 kΩC = 100 nFf = 1,4 kHz
|H| = dB
16.Діаграми Боде та запасиСкладна
Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)). Знайдіть підсилення K, що дає запас за підсиленням 10 dB.
L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))GM = 10 dB
K =
3Розчини
1.Комплексні числа
Відповідь: θ = −153,4 °
Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.
Чверть
a = −8, b = −4 → III
Опорний кут
α = atan(4/8) = 26,57°
Аргумент
θ = −(180° − α) = −153,4°
Відповідь
θ = −153,4°
У полярній формі z = 8,944∠−153,4°.
2.Комплексні числа
Відповідь: Im(z₁) = 1,975
Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.
Модуль коренів
321/5 = 2
Аргумент кореня
θ₁ = (45° + 360°·1)/5 = 81°
Алгебраїчна форма
z₁ = 2·(cos 81° + j sin 81°) = 0,3129 + j1,975
Im(z₁) = 1,975
Відповідь
Im(z₁) = 1,975
5 коренів лежать на колі радіусом 2 на відстані 72° один від одного.
3.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: |Z| = 71,29 Ω
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивний опір
XL = ωL = 2π·500·0,05 = 157,1 Ω
Струми віток
Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.
IR = V/R = 12/80 = 0,15 A
IX = V/XL = 12/157,1 = 0,07639 A
Загальний струм
Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.
I = √(IR² + IX²) = √(0,15² + 0,07639²) = 0,1683 A
Повний опір
|Z| = V/I = 12/0,1683 = 71,29 Ω
Відповідь
|Z| = 71,29 Ω
4.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: VC = 12,06 V
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω
Повний опір
Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).
Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.
I = V/|Z| = 10/599,9 = 0,01667 A
Напруга на конденсаторі
VC = I·XC = 0,01667·723,4 = 12,06 V
Відповідь
VC = 12,06 V
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: Q = 4090 var
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Струм
|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 240/13 = 18,46 A
Реактивна потужність
Q = I²·X = 18,46²·12 = 4090 var
Відповідь
Q = 4090 var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: C = 1249 µF
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53,13°) = 26,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(11,48°) = 4,061 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22,61 kvar
Ємність
Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 22605/(2π·50·240²) = 1249 µF
Відповідь
C = 1249 µF
7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: Q = 4,7
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Резонансна частота
ω₀ = 1/√(LC) = 100000 rad/s
Добротність
Q = R/(ω₀L) = 4700/(100000·0,01) = 4,7
Відповідь
Q = 4,7
Смуга пропускання дорівнює 1/(2πRC) = 3,386 kHz.
8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання
Відповідь: n = 5,099
Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).
Час зменшення амплітуди вдвічі
t = 2·0,00047·ln 2/20 = 3,258 × 10⁻⁵ s
Кількість циклів
n = t·f0 = 3,258 × 10⁻⁵·156516 = 5,099
Відповідь
n = 5,099
Скорочення: n = Q·ln 2/π при Q = 23,11.
9.Трифазні системи
Відповідь: IL = 79,97 A
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Електрична вхідна потужність
Pin = Pout/η = 55/0,94 = 58,51 kW
Струм лінії
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 58511/(√3·480·0,88) = 79,97 A
Відповідь
IL = 79,97 A
10.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 238,5 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 35,96 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
Спадання струму
i(t) = 2,5·e−5/3 = 0,4722 A
Відповідь
i = 0,4722 A
12.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 1,004 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.
i(0) = 20/(15 + 33) = 0,4167 A
i(∞) = 20/15 = 1,333 A
τ = L/R = 220/15 = 14,67 ms
i(t) = 1,333 + (0,4167 − 1,333)·e−t/τ
Струм у заданий момент
i(15) = 1,333 + (−0,9167)·e−15/14,67 = 1,004 A
Відповідь
i = 1,004 A
13.Тевенен і Нортон
Відповідь: Rth = 13,71 Ω
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 12 = 13,71 Ω
14.Тевенен і Нортон
Відповідь: IL = 1,287 A
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 25·2/(25+2) = 1,852 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,852 + 5 = 6,852 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,111 + 1,5·1,852 = 3,889 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,889 + 1,5·5 = 11,39 V
Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена
Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 11,39/(6,852 + 2) = 1,287 A
15.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: |H| = −12,58 dB
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.
Частота зрізу
ωc = 1/(RC) = 1/(4700·1 × 10⁻⁷) = 2128 rad/s
fc = 338,6 Hz → f/fc = 1400/338,6 = 4,134
Коефіцієнт підсилення
|H| = 1/√(1 + 4,134²) = 0,2351
20·log₁₀(0,2351) = −12,58 dB
Відповідь
|H| = −12,58 dB
16.Діаграми Боде та запаси
Відповідь: K = 177,1
Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.