Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Знайдіть аргумент θ числа z = −9 − j2 у градусах, як головне значення між −180° і 180°.

z = −9 − j2

θ = °

2.Комплексні числаСкладна

Один із коренів z³ − 10z² + 42z − 72 = 0 дорівнює z₁ = 3 + j3. Коефіцієнти дійсні. Знайдіть дійсний корінь r.

z₁ = 3 + j3

r =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 10 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF

V_L = V

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 24 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним) і навантаження 18 kW з коефіцієнтом потужності 0,95 (ємнісним). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 230 VP₁ = 24 kW, pf₁ = 0,75 відстаючийP₂ = 18 kW, pf₂ = 0,95 ємнісний

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 15 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть реактивну потужність Q_C, яку має постачати конденсатор.

P = 15 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Послідовний RLC-контур має R = 5 Ом, L = 47 µH і C = 10 nF. Знайдіть його смугу пропускання BW в kHz.

R = 5 ΩL = 47 µHC = 10 nF

BW = kHz

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Послідовний RLC-контур (R = 5 Ом, L = 2,2 mH, C = 470 nF) працює на резонансі з амплітудою струму 50 мА. Знайдіть енергію E_cycle, що розсіюється на R за один цикл, в µJ.

R = 5 ΩL = 2,2 mHC = 470 nFI_m = 50 mA

E_cycle = µJ

9.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 10 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 10 Acos φ = 0,82

P = kW

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 2 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 150 ms.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 2 Vt = 150 ms

v_C = V

13.Тевенен і НортонСередня

До a–b підключено навантаження R_L = 8 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

14.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 2 Ω. За допомогою еквівалента Тевенена знайдіть потужність P_L, що передається навантаженню.

V₁ = 24 VI_s = 0,5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 2 Ω

P_L = W

15.Діаграми Боде та запасиСередня

RL-фільтр нижніх частот на рисунку має R = 10 Ω, L = 10 mH. На вхід подають синусоїдний сигнал 80 Hz. Знайдіть фазовий зсув φ сигналу v_out відносно v_in, у градусах.

R = 10 ΩL = 10 mHf = 80 Hz

φ = °

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 102/(s(s + 3)(s + 6)). Знайдіть запас за підсиленням GM у dB.

L(s) = 102/(s(s + 3)(s + 6))

GM = dB

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = −167,5 °

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Чверть

a = −9, b = −2 → III

Опорний кут

α = atan(2/9) = 12,53°

Аргумент

θ = −(180° − α) = −167,5°

Відповідь

θ = −167,5°

У полярній формі z = 9,22∠−167,5°.

2.Комплексні числа

Відповідь: r = 4

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Спряжена пара

z₂ = 3 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 3²) = z² − 6z + 18

Винесіть квадратний множник

z³ − 10z² + 42z − 72 = (z² − 6z + 18)(z − 4)

Дійсний корінь

r = 4

Відповідь

r = 4

Перевірте сумою коренів: z₁ + z₂ + r = 6 + 4 = 10 = −(−10).

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,7946 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (18,96)²) = 62,92 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/62,92 = 0,7946 A

Відповідь

I = 0,7946 A

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 307,5 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,47·10⁻⁶) = 4613 rad/s

I = V/R = 10/15 = 0,6667 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 4613·0,1 = 461,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,6667·461,3 = 307,5 V

Відповідь

V_L = 307,5 V

Це в Q = 30,75 разів більше за напругу мережі.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 194,3 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 24·tan(arccos 0,75) = 21,17 kvar

Q₂ = −18·tan(arccos 0,95) = −5,916 kvar

Сумарні значення

P = 24 + 18 = 42 kW

Q = 21,17 + (−5,916) = 15,25 kvar

S = √(42² + 15,25²) = 44,68 kVA

Загальний струм

I = S/V = 44683/230 = 194,3 A

Відповідь

I = 194,3 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q_C = 4,86 kvar

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(36,87°) = 11,25 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 4,86 kvar

Відповідь

Q_C = 4,86 kvar

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: BW = 16,93 kHz

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Смуга пропускання в рад/с

R/L = 5/4,7 × 10⁻⁵ = 106383 rad/s

Смуга пропускання в Гц

BW = 106383/(2π) = 16931 Hz = 16,93 kHz

Відповідь

BW = 16,93 kHz

При f₀ = 232,2 kHz це дає Q = 13,71.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: E_cycle = 1,263 µJ

Накопичена енергія

W = ½·0,0022·0,05² = 2,75 × 10⁻⁶ J

Добротність

Q = (1/5)·√(0,0022/4,7 × 10⁻⁷) = 13,68

Втрачена за цикл енергія

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2,75 × 10⁻⁶/13,68 = 1,263 × 10⁻⁶ J = 1,263 µJ

перевірка: ½·0,05²·5/4949 = 1,263 × 10⁻⁶ J

Відповідь

E_cycle = 1,263 µJ

9.Трифазні системи

Відповідь: P = 5,681 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·10 = 6,928 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 6,928·0,82 = 5,681 kW

Відповідь

P = 5,681 kW

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 152,4 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 22,8 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 7599/(314,2·398,4²) = 152,4 µF

Відповідь

C_ph = 152,4 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,03161 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/100 = 0,05 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,05·(1 − e^−1/1) = 0,03161 A

Відповідь

i = 0,03161 A

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 7,438 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (2 − 9)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(150) = 9 + (−7)·e^−150/100 = 7,438 V

Відповідь

v_C = 7,438 V

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 0,3 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 2 = 6,286 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·6/(15+6) = 4,286 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4,286/(6,286 + 8) = 0,3 A

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: P_L = 1,424 W

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10+10) = 5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5 + 25 = 30 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 0,5·5 = 14,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14,5 + 0,5·25 = 27 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 27/(30 + 2) = 0,8438 A

P_L = I_L²·R_L = 0,8438²·2 = 1,424 W

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: φ = −26,69 °

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Частота зрізу

ω_c = R/L = 10/0,01 = 1000 rad/s

f_c = 159,2 Hz → f/f_c = 80/159,2 = 0,5027

Фаза

φ = − atan(0,5027) = −26,69°

Відповідь

φ = −26,69°

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: GM = 4,018 dB

Перетин за фазою

(ω/3)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·6) = 4,243 rad/s

Модуль на перетині за фазою

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 36)) = K/(3·6·(3 + 6)) = K/162

Запас за підсиленням

GM = 20·log₁₀(162/102) = 4,018 dB

Відповідь

GM = 4,018 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Чверть

Опорний кут

Аргумент

Відповідь

Спряжена пара

Винесіть квадратний множник

Дійсний корінь

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Відповідь

Резонанс

Напруга на котушці

Відповідь

Реактивна потужність кожного навантаження

Сумарні значення

Загальний струм

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Відповідь

Смуга пропускання в рад/с

Смуга пропускання в Гц

Відповідь

Накопичена енергія

Добротність

Втрачена за цикл енергія

Відповідь

Повна потужність

Активна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Струм у заданий момент

Відповідь

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга в заданий момент

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Частота зрізу

Фаза

Відповідь

Перетин за фазою

Модуль на перетині за фазою

Запас за підсиленням

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу