Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Комплексні числа

Алгебраїчна форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль і аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярна та показникова форми: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Ділення: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Добуток і частка: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корені n-го степеня: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратне рівняння з p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Власна частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Енергія: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм: I_max = V₀√(C/L)
Добротність: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоти половинної потужності: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди: e^−Rt/(2L)

Метод

Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена: V_th = V_{open circuit}
Опір Тевенена: R_th: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона: I_N = V_th/R_th
Струм навантаження: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальної потужності: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це V_th.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це R_th.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: V_th послідовно з R_th.
Для еквівалента Нортона перетворіть: I_N = V_th/R_th, з паралельним R_N = R_th.

2Задачі для практики

1.Комплексні числаСередня

Нехай z₁ = 2∠−60° і z₂ = 2∠45°; знайдіть аргумент θ числа w = z₁·z₂ у градусах, між −180° і 180°.

z₁ = 2∠−60°z₂ = 2∠45°

θ = °

2.Комплексні числаСкладна

Знайдіть дійсну частину (−2 + j)⁵.

z = −2 + jn = 5

Re(z⁵) =

3.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

4.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 7 kW з коефіцієнтом потужності 0,65 (індуктивним) і нагрівач потужністю 13 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 240 VP₁ = 7 kW, pf₁ = 0,65 відстаючийP₂ = 13 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 45 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 45 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСередня

Послідовний RLC-контур має R = 220 Ом, L = 1 mH і C = 1 nF. Знайдіть його смугу пропускання BW в kHz.

R = 220 ΩL = 1 mHC = 1 nF

BW = kHz

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняСкладна

Послідовний RLC-контур (R = 2 Ом, L = 470 µH, C = 100 nF) працює на резонансі з амплітудою струму 50 мА. Знайдіть енергію E_cycle, що розсіюється на R за один цикл, в nJ.

R = 2 ΩL = 470 µHC = 100 nFI_m = 50 mA

E_cycle = nJ

9.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 8 + j6 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 208 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 208 VZ = 8 + j6 Ω на фазу

P = kW

10.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 120 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 95% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 220 mH

t = ms

12.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 5 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 4,5 V, рівно через 10 ms після старту. При R = 47 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 5 VV_th = 4,5 VT = 10 msR = 47 kΩ

C = µF

13.Тевенен і НортонСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th з боку затискачів a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

14.Тевенен і НортонСкладна

До a–b підключено навантаження R_L = 15 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження I_L.

V₁ = 36 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

15.Діаграми Боде та запасиСередня

Знайдіть точний модуль |G(jω)| функції G(s) = 2000/((s + 5)(s + 20)) за ω = 8 rad/s, у dB.

G(s) = 2000/((s + 5)(s + 20))ω = 8 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Діаграми Боде та запасиСкладна

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 16,8/(s(s + 8)). Знайдіть частоту зрізу за підсиленням ω_c, де |L(jω)| = 1.

L(s) = 16,8/(s(s + 8))

ω_c = rad/s

3Розчини

1.Комплексні числа

Відповідь: θ = −15 °

Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.

Модуль і аргумент w

|w| = 2 · 2 = 4

θ = −60° + 45° = −15°

Аргумент

θ = −15°

Відповідь

θ = −15°

2.Комплексні числа

Відповідь: Re(z⁵) = 38

Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R^1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.

Степені крок за кроком

z² = (−2 + j)(−2 + j) = 3 − j4

z³ = (3 − j4)(−2 + j) = −2 + j11

z⁴ = (−2 + j11)(−2 + j) = −7 − j24

z⁵ = (−7 − j24)(−2 + j) = 38 + j41

Перевірка за Муавром

z = 2,236∠153,4° → z⁵ = 55,9∠47,17°

Re(z⁵) = 38

Відповідь

Re(z⁵) = 38

3.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,347 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−661,5)²) = 662,8 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/662,8 = 0,347 A

Відповідь

I = 0,347 A

4.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,3824 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (48,36)²) = 62,76 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/62,76 = 0,3824 A

Відповідь

I = 0,3824 A

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 90,04 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 7·tan(arccos 0,65) = 8,184 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 7 + 13 = 20 kW

Q = 8,184 + 0 = 8,184 kvar

S = √(20² + 8,184²) = 21,61 kVA

Загальний струм

I = S/V = 21610/240 = 90,04 A

Відповідь

I = 90,04 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 1048 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(36,87°) = 33,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 18,96 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 18959/(2π·50·240²) = 1048 µF

Відповідь

C = 1048 µF

7.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: BW = 35,01 kHz

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f₁ і f₂ (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e^−Rt/(2L).

Смуга пропускання в рад/с

R/L = 220/0,001 = 220000 rad/s

Смуга пропускання в Гц

BW = 220000/(2π) = 35014 Hz = 35,01 kHz

Відповідь

BW = 35,01 kHz

При f₀ = 159,2 kHz це дає Q = 4,545.

8.LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Відповідь: E_cycle = 107,7 nJ

Накопичена енергія

W = ½·0,00047·0,05² = 5,875 × 10⁻⁷ J

Добротність

Q = (1/2)·√(0,00047/1 × 10⁻⁷) = 34,28

Втрачена за цикл енергія

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·5,875 × 10⁻⁷/34,28 = 1,077 × 10⁻⁷ J = 107,7 nJ

перевірка: ½·0,05²·2/23215 = 1,077 × 10⁻⁷ J

Відповідь

E_cycle = 107,7 nJ

9.Трифазні системи

Відповідь: P = 10,38 kW

Фазна напруга

V_ph = V_L = 208 V

Фазний струм

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I_ph = 208/10 = 20,8 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·20,8²·8 = 10,38 kW

Відповідь

P = 10,38 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

10.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 424,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,72) = 120·0,9639 = 115,7 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 76,22 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 25407/(377·398,4²) = 424,7 µF

Відповідь

C_ph = 424,7 µF

11.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 43,94 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1,6 A

Виразіть час

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −14,67·ln(0,05) = 43,94 ms

Відповідь

t = 43,94 ms

12.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 0,0924 µF

Потрібна стала часу

4,5 = 5·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(5/(5 − 4,5))

τ = 10/2,303 = 4,343 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 4,343/47 = 0,0924 µF

Відповідь

C = 0,0924 µF

13.Тевенен і Нортон

Відповідь: R_th = 17,45 Ω

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги V_th, послідовне з опором R_th. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму I_N = V_th/R_th, паралельне R_th.

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,455 + 12 = 17,45 Ω

14.Тевенен і Нортон

Відповідь: I_L = 3,989 A

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

R₁ ∥ R₂ = 2·20/(2+20) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 25 = 26,82 Ω

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 32,73 + 5·1,818 = 41,82 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 41,82 + 5·25 = 166,8 V

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 166,8/(26,82 + 15) = 3,989 A

15.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: |G(jω)| = 19,86 dB

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ω_c = 1/(RC) або R/L, а f_c = ω_c/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) і φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перетину за фазою ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Перемножте модулі

|G(j8)| = 2000/(√(8² + 5²)·√(8² + 20²)) = 2000/(9,434·21,54) = 9,842

Результат

20·log₁₀(9,842) = 19,86 dB

Відповідь

|G(jω)| = 19,86 dB

16.Діаграми Боде та запаси

Відповідь: ω_c = 2,035 rad/s

Зріз за підсиленням

ω⁴ + 64ω² − 282,2 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·282,2))/2 = 4,142

ω_c = 2,035 rad/s

Відповідь

ω_c = 2,035 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Комплексні числа

Метод

Повний опір і комплексні амплітуди

Метод

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання

Метод

Трифазні системи

Перехідні процеси RC і RL

Метод

Тевенен і Нортон

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Модуль і аргумент w

Аргумент

Відповідь

Степені крок за кроком

Перевірка за Муавром

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Відповідь

Реактивні опори

Повний опір

Струм

Відповідь

Реактивна потужність кожного навантаження

Сумарні значення

Загальний струм

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Ємність

Відповідь

Смуга пропускання в рад/с

Смуга пропускання в Гц

Відповідь

Накопичена енергія

Добротність

Втрачена за цикл енергія

Відповідь

Фазна напруга

Фазний струм

Сумарна активна потужність

Відповідь

Реактивна потужність до і після

Реактивна потужність від конденсаторів

Ємність на фазу

Відповідь

Стала часу і кінцевий струм

Виразіть час

Відповідь

Потрібна стала часу

Ємність

Відповідь

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Перемножте модулі

Результат

Відповідь

Зріз за підсиленням

Відповідь

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть R_th з усіма вимкненими джерелами

Знайдіть V_th — напругу холостого ходу