У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 7 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0002% / 12n = 7
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €10 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €450. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €10 000A = €4507,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €11 000 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €12 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €60 000CF = €11 000S = €12 000n = 8r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €9 500, €10 500, €13 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 10 500CF3 = 13 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 9%n = 10
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 2%n = 5YTM = 5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,6. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Ставка податку 25%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,6D/E = 0,5T = 25%rf = 1,5%rm − rf = 4%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €25 000 на рік і змінні витрати €8 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €29 000 на рік і змінні витрати €6 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €25 000vA = €8FB = €29 000vB = €6
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €14 зі змінними витратами €8; товар B — за €40 зі змінними витратами €30. Вони продаються в сталій пропорції: 3 одиниць A на кожні 2 одиниць B. Постійні витрати €22 800 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €14, vA = €8pB = €40, vB = €30A : B = 3 : 2F = €22 800
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 8695 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·7 = 84
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,15 = €8 694,60
Відповідь
PV = €8 694,60
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 24 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,006/450 = 0,8667
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8667)/ln(1,006) = 23,92
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 9696 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
11 000·5,747 = 63 213,03
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
12 000/1,851 = 6 483,23
NPV
NPV = −60 000 + 63 213,03 + 6 483,23 = €9 696,25
Відповідь
NPV = €9 696,25
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 28,88 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 1 232,00
NPV(30%) = −334,55
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,045, N = 20
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,4146)/0,045 = €325,20
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,4146 = €414,64
Ціна
P = €739,84
Відповідь
P = €739,84
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 4,791 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 20/1,05 = 19,05, t·PV = 19,05
t = 2: 20/1,103 = 18,14, t·PV = 36,28
t = 3: 20/1,158 = 17,28, t·PV = 51,83
t = 4: 20/1,216 = 16,45, t·PV = 65,82
t = 5: 1020/1,276 = 799,20, t·PV = 3 995,98
Дюрація
P = 870,12
D = 4 168,96/870,12 = 4,791
Відповідь
D = 4,791 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,331 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·9% + 0,2857·4%·(1 − 0,21) = 7,331%
Відповідь
WACC = 7,331%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 4,8 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,6·(1 + 0,75·0,5) = 0,825
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 0,825·4% = 4,8%
Відповідь
re = 4,8%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
25 000 + 8Q = 29 000 + 6Q
Знайдіть Q
Q = (29 000 − 25 000)/(8 − 6) = 2 000
Відповідь
Q = 2 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 3000 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.