У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €8 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.
PV = €8 0003% / 4n = 4
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €20 0004,8% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €9 500 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €37 000, €35 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 37 000CF2 = 35 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 9%n = 6
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 7%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 4,5%n = 6YTM = 7%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €49,50; балансова вартість її власного капіталу €148 500 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,80 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €74 300 000 і вартість до оподаткування 4%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Товар продається за €53 за одиницю при змінних витратах €45 на одиницю. Постійні витрати — €40 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €20 000?
F = €40 000p = €53v = €45прибуток = €20 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 8 000 одиниць по €40 зі змінними витратами €30 на одиницю й постійними витратами €40 000. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 20 %?
Q = 8 000p = €40v = €30F = €40 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 9016 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 20 000·0,004/(1 − 0,8661) = €597,62
Відповідь
A = €597,62
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,612 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 9 500/1,06 = 8 962,26 → Σ = 8 962,26
рік 2: 9 500/1,124 = 8 454,97 → Σ = 17 417,23
рік 3: 9 500/1,191 = 7 976,38 → Σ = 25 393,61
рік 4: 9 500/1,262 = 7 524,89 → Σ = 32 918,50
Частка останнього року
DPB = 3 + 4 606,39/7 524,89 = 3,612
Відповідь
DPB = 3,612 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,158 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 29,03 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 2 320,00
NPV(30%) = −532,54
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,045, N = 12
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,5897)/0,045 = €205,17
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5897 = €589,66
Ціна
P = €794,83
Відповідь
P = €794,83
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 5,343 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 45/1,07 = 42,06, t·PV = 42,06
t = 2: 45/1,145 = 39,30, t·PV = 78,61
t = 3: 45/1,225 = 36,73, t·PV = 110,20
t = 4: 45/1,311 = 34,33, t·PV = 137,32
t = 5: 45/1,403 = 32,08, t·PV = 160,42
t = 6: 1045/1,501 = 696,33, t·PV = 4 177,97
Дюрація
P = 880,84
D = 4 706,57/880,84 = 5,343
Відповідь
D = 5,343 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,91 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·13% + 0,2308·5%·(1 − 0,21) = 10,91%
Відповідь
WACC = 10,91%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,447 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.