У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.
PV = €1 0005% / 4n = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €20 000 під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €875. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €20 000A = €8752,4% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €25 000, €20 000, €21 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €15 000, €17 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 17 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 10 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 2%), коли її дохідність до погашення становить 2,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 2%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 2%n = 10y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 010 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 11,1 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 100 базисних пунктів.
P0 = €1 010y = 7%D = 11,1Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,2. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Ставка податку 25%, безризикова ставка 1%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 25%rf = 1%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €35 за одиницю при змінних витратах €15 на одиницю. Постійні витрати — €50 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €6 000?
F = €50 000p = €35v = €15прибуток = €6 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 3 750 одиниць на місяць по €25 зі змінними витратами €20 на одиницю й постійними витратами €7 500 на місяць. Змінні витрати зростають на €2 на одиницю, а ціна не змінюється. Скільки одиниць Q тепер треба продавати на місяць, щоб зберегти той самий прибуток?
Q = 3 750p = €25v = €20 → €22F = €7 500
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 1564 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,002/875 = 0,9543
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,9543)/ln(1,002) = 23,42
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 90,7 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 25 000/1,05 = 23 809,52
CF2/(1 + 0,05)2 = 20 000/1,103 = 18 140,59
CF3/(1 + 0,05)3 = 21 000/1,158 = 18 140,59
Додайте
NPV = €90,70
Відповідь
NPV = €90,70
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 18,88 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 1 275,99
NPV(20%) = −347,22
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 11,1/1,07 = 10,37
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −10,37·(−0,01) = 10,37%
P ≈ 1010·(1 + 0,1037) = €1 114,78
Відповідь
P = €1 114,78
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,08 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·3%·(1 − 0,28) = 8,08%
Відповідь
WACC = 8,08%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 11,72 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,2·(1 + 0,75·0,5) = 1,65
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1% + 1,65·6,5% = 11,72%
Відповідь
re = 11,72%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2800 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).