У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €12 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.
PV = €12 0002% / 4n = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €8 0003% / 12N = 72
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €8 000 наприкінці кожного року протягом 5 років, а потім його можна продати за €8 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €40 000CF = €8 000S = €8 000n = 5r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €50 000 і приносить €16 500, €19 500, €30 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 12 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Ви купуєте облігацію з 10 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4%), коли її дохідність до погашення становить 8%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 9,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 10y0 = 8%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 9 років і продається за €1 105. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 9P = €1 105
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,25 має необхідну дохідність 8,38%. Безризикова ставка 1,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,25re = 8,38%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 1 000 000 акцій по €51,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
β = 1,5rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €10 000 на рік і змінні витрати €12 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €20 000 на рік і змінні витрати €10 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €10 000vA = €12FB = €20 000vB = €10
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 2 000 одиниць по €10 зі змінними витратами €6 на одиницю й постійними витратами €3 200. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зменшиться на 15 %?
Q = 2 000p = €10v = €6F = €3 200%ΔQ = −15%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 14360 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·6 = 72
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 8 000·0,0025/(1 − 0,8355) = €121,55
Відповідь
A = €121,55
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −6622 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
8 000·3,605 = 28 838,21
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
8 000/1,762 = 4 539,41
NPV
NPV = −40 000 + 28 838,21 + 4 539,41 = −€6 622,38
Відповідь
NPV = −€6 622,38
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 13,2 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
16 500·1,122 = 20 697,60
19 500·1,121 = 21 840,00
30 000·1,120 = 30 000,00
TV = 72 537,60
MIRR
MIRR = (72 537,60/50 000)1/3 − 1 = 13,2%
Відповідь
MIRR = 13,2%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = −2,014 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 105 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Чисельний розв’язок
P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02
YTM = 5,49%
Відповідь
YTM = 5,49%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 7,004 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (8,38% − 1,5%)/1,25 = 5,504%
Ринкова дохідність
rm = 1,5% + 5,504% = 7,004%
Відповідь
rm = 7,004%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,323 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
10 000 + 12Q = 20 000 + 10Q
Знайдіть Q
Q = (20 000 − 10 000)/(12 − 10) = 5 000
Відповідь
Q = 5 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = −25 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.