У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 6 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €5 0002% / 4n = 6
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 15? Знайдіть залишок боргу B.
P = €200 0002,4% / 12N = 300k = 180
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €24 000, €12 000, €28 000, €27 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €8 000, €12 500, €12 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 7%n = 12
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 5 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 5P = €1 060
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,4 має необхідну дохідність 7,8%. Безризикова ставка 1,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,4re = 7,8%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 1 000 000 акцій по €23,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 7%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €15 000 на рік і змінні витрати €12 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €25 000 на рік і змінні витрати €10 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €15 000vA = €12FB = €25 000vB = €10
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €26 за одиницю, змінні витрати — €20 на одиницю, постійні — €7 200 на рік. Запланований продаж — 2 160 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €7 200p = €26v = €20план = 2 160
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 4436 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·6 = 24
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,127 = €4 435,93
Відповідь
PV = €4 435,93
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 94568 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,002, N = 300
A = 200 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−300) = €887,19
Теперішня вартість решти платежів
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 300 − 180 = 120
B = 887,2·(1 − (1 + 0,002)−120)/0,002 = €94 567,65
Відповідь
B = €94 567,65
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 3791 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 24 000/1,15 = 20 869,57
CF2/(1 + 0,15)2 = 12 000/1,322 = 9 073,72
CF3/(1 + 0,15)3 = 28 000/1,521 = 18 410,45
CF4/(1 + 0,15)4 = 27 000/1,749 = 15 437,34
Додайте
NPV = €3 791,08
Відповідь
NPV = €3 791,08
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 11,69 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
8 000·1,082 = 9 331,20
12 500·1,081 = 13 500,00
12 000·1,080 = 12 000,00
TV = 34 831,20
MIRR
MIRR = (34 831,20/25 000)1/3 − 1 = 11,69%
Відповідь
MIRR = 11,69%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1080 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,035, N = 24
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,438)/0,035 = €642,33
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,438 = €437,96
Ціна
P = €1 080,29
Відповідь
P = €1 080,29
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,554 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 084,25, P(7%) = €1 041,00
YTM = 6,554%
Відповідь
YTM = 6,554%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 6 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (7,8% − 1,5%)/1,4 = 4,5%
Ринкова дохідність
rm = 1,5% + 4,5% = 6%
Відповідь
rm = 6%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,471 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 1 000 000·€23,00 = €23 000 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 0,8·5,5% = 5,9%
Ваги
V = €28 000 000, E/V = 0,8214, D/V = 0,1786
WACC
WACC = 0,8214·5,9% + 0,1786·5%·(1 − 0,3) = 5,471%
Відповідь
WACC = 5,471%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 5000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
15 000 + 12Q = 25 000 + 10Q
Знайдіть Q
Q = (25 000 − 15 000)/(12 − 10) = 5 000
Відповідь
Q = 5 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 44,44 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).