У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 7,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 14? Знайдіть залишок боргу B.
P = €150 0004,2% / 12N = 240k = 168
B = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €21 500, €22 500, €13 500, €12 000, €19 500, €11 500 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 500, €5 000, €4 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 000CF3 = 4 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4%), коли її дохідність до погашення становить 7%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 8,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 5y0 = 7%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 3 років і продається за €1 025. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 3P = €1 025
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
E = €4 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 5 000 000 акцій по €35,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €40 за одиницю при змінних витратах €30 на одиницю. Постійні витрати — €8 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €5 000?
F = €8 000p = €40v = €30прибуток = €5 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 800 одиниць по €20 зі змінними витратами €12 на одиницю й постійними витратами €9 600. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 20 %?
Q = 1 800p = €20v = €12F = €9 600%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 133333 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,0035, N = 240
A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−240) = €924,86
Теперішня вартість решти платежів
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 240 − 168 = 72
B = 924,9·(1 − (1 + 0,0035)−72)/0,0035 = €58 771,49
Відповідь
B = €58 771,49
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,209 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 21 500/1,1 = 19 545,45 → Σ = 19 545,45
рік 2: 22 500/1,21 = 18 595,04 → Σ = 38 140,50
рік 3: 13 500/1,331 = 10 142,75 → Σ = 48 283,25
рік 4: 12 000/1,464 = 8 196,16 → Σ = 56 479,41
Частка останнього року
DPB = 3 + 1 716,75/8 196,16 = 3,209
Відповідь
DPB = 3,209 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,444 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 30,05 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 6,83
NPV(35%) = −612,71
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 30 + 5·6,83/(6,83 − (−612,71)) = 30,06%
точно: NPV(30,05%) = 0 → IRR = 30,05%
Відповідь
IRR = 30,05%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 1,779 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 025 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(7%) = €1 026,24, P(8%) = €1 000,00
YTM = 7,047%
Відповідь
YTM = 7,047%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,15 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·8% + 0,2·5%·(1 − 0,25) = 7,15%
Відповідь
WACC = 7,15%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,479 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.