У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 4 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 3 років.
PV = €2 0004% / 12n = 3
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €25 0002,4% / 12N = 72
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Він приносить €15 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €15 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €15 500, €21 500, €25 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 21 500CF3 = 25 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 8%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 4%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 5%n = 4YTM = 4%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €5 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу 11%, вартість привілейованого капіталу 6%, вартість боргу до оподаткування 4%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
Компанія має 4 000 000 акцій, що торгуються за €12,50; балансова вартість її власного капіталу €20 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,80 на акцію, і дивіденди зростають на 3% на рік. Її борг має ринкову вартість €50 000 000 і вартість до оподаткування 4%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Товар продається за €25 за одиницю при змінних витратах €15 на одиницю. Постійні витрати — €20 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €20 000?
F = €20 000p = €25v = €15прибуток = €20 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €8 зі змінними витратами €5; товар B — за €33 зі змінними витратами €25. Вони продаються в сталій пропорції: 3 одиниць A на кожні 1 одиниць B. Постійні витрати €3 400 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €8, vA = €5pB = €33, vB = €25A : B = 3 : 1F = €3 400
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 2255 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·6 = 72
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,866
A = 25 000·0,002/(1 − 0,866) = €373,17
Відповідь
A = €373,17
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 14286 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 15 000/(0,09 − 0,02) = 214 285,71
NPV
NPV = 214 285,71 − 200 000 = €14 285,71
Відповідь
NPV = €14 285,71
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 23,78 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 2 604,17
NPV(25%) = −784,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,04, N = 8
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,7307)/0,04 = €151,49
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7307 = €730,69
Ціна
P = €882,18
Відповідь
P = €882,18
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 3,729 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 50/1,04 = 48,08, t·PV = 48,08
t = 2: 50/1,082 = 46,23, t·PV = 92,46
t = 3: 50/1,125 = 44,45, t·PV = 133,35
t = 4: 1050/1,17 = 897,54, t·PV = 3 590,18
Дюрація
P = 1 036,30
D = 3 864,06/1 036,30 = 3,729
Відповідь
D = 3,729 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,909 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість власного капіталу
D1 = 1,8·1,03 = €1,85
re = 1,854/12,5 + 0,03 = 17,83%
Ринкові вартості
E = 4 000 000·€12,50 = €50 000 000
V = €100 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·17,83% + 0,5·4%·(1 − 0,21) = 10,5%
Відповідь
WACC = 10,5%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 4000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.