У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 9 років вам потрібно €25 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €25 0006% / 12n = 9
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €1 000 на початку кожного року протягом 6 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 6? Знайдіть FV.
A = €1 000i = 8%n = 6
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €8 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 000, €7 500, €6 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 7 500CF3 = 6 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% і погашається через 13 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5,5% до 7,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 5%n = 13y1 = 5,5%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 5 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 5P = €1 060
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €8 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 4%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €50,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 10%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 10%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €32 зі змінними витратами €12 на одиницю. Постійні витрати €16 000 на місяць, а прибуток оподатковується за ставкою 25 %. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб заробити €3 000 після сплати податку?
p = €32v = €12F = €16 000T = 25%прибуток після оподаткування = €3 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 10 000 одиниць по €34 зі змінними витратами €30 на одиницю й постійними витратами €20 000. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 15 %?
Q = 10 000p = €34v = €30F = €20 000%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 14588 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·9 = 108
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,714 = €14 588,32
Відповідь
PV = €14 588,32
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 7923 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,08)6 − 1)/0,08 = 7,336
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 1 000·7,336·1,08 = €7 922,80
Відповідь
FV = €7 922,80
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 4,867 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 8 500/1,12 = 7 589,29 → Σ = 7 589,29
рік 2: 8 500/1,254 = 6 776,15 → Σ = 14 365,43
рік 3: 8 500/1,405 = 6 050,13 → Σ = 20 415,57
рік 4: 8 500/1,574 = 5 401,90 → Σ = 25 817,47
рік 5: 8 500/1,762 = 4 823,13 → Σ = 30 640,60
Частка останнього року
DPB = 4 + 4 182,53/4 823,13 = 4,867
Відповідь
DPB = 4,867 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,529 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 48,04 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(45%) = 362,87
NPV(50%) = −222,22
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 45 + 5·362,87/(362,87 − (−222,22)) = 48,1%
точно: NPV(48,04%) = 0 → IRR = 48,04%
Відповідь
IRR = 48,04%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −157,6 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 084,25, P(7%) = €1 041,00
YTM = 6,554%
Відповідь
YTM = 6,554%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,985 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Потрібний прибуток до оподаткування
3 000/(1 − 0,25) = €4 000
Потрібна кількість одиниць
Q = (16 000 + 4 000)/20 = 1 000
Відповідь
Q = 1 000 од.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = 30 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.