У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 4 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.
PV = €3 0004% / 12n = 4
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 22? Знайдіть залишок боргу B.
P = €300 0002,4% / 12N = 360k = 264
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €6 000, €5 000, €7 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €12 000, €8 500, €13 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 8 500CF3 = 13 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 6 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4,5%), коли її дохідність до погашення становить 8%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 7,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 4,5%n = 6y0 = 8%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 3 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 3P = €935
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,5 має необхідну дохідність 11,5%. Безризикова ставка 1%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,5re = 11,5%rf = 1%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Ставка податку 30%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 1D/E = 0,4T = 30%rf = 2,5%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €19 за одиницю при змінних витратах €15 на одиницю. Постійні витрати — €10 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €10 000?
F = €10 000p = €19v = €15прибуток = €10 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €17 зі змінними витратами €12; товар B — за €32 зі змінними витратами €20. Вони продаються в сталій пропорції: 4 одиниць A на кожні 1 одиниць B. Постійні витрати €32 000 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €17, vA = €12pB = €32, vB = €20A : B = 4 : 1F = €32 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 3520 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 360 − 264 = 96
B = 1170·(1 − (1 + 0,002)−96)/0,002 = €102 087,55
Відповідь
B = €102 087,55
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −4601 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 6 000/1,08 = 5 555,56
CF2/(1 + 0,08)2 = 5 000/1,166 = 4 286,69
CF3/(1 + 0,08)3 = 7 000/1,26 = 5 556,83
Додайте
NPV = €−4 600,92
Відповідь
NPV = €−4 600,92
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 30,63 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 177,51
NPV(35%) = −1 163,44
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(8%) = €948,46, P(9%) = €924,06
YTM = 8,547%
Відповідь
YTM = 8,547%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (11,5% − 1%)/1,5 = 7%
Ринкова дохідність
rm = 1% + 7% = 8%
Відповідь
rm = 8%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 10,82 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1·(1 + 0,7·0,4) = 1,28
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 1,28·6,5% = 10,82%
Відповідь
re = 10,82%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 5000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.