У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.
PV = €5 0006% / 4n = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 8 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 8? Знайдіть FV.
A = €6 000i = 4%n = 8
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €250 000. Він приносить €23 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €250 000CF1 = €23 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт A коштує €40 000 і приносить €23 000, €15 000, €9 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €45 000 і приносить €11 500, €18 000, €25 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 6%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 4 років і продається за €1 070. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 4P = €1 070
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €11,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Компанія продає 750 одиниць по €57. Змінні витрати €45 на одиницю, постійні витрати €6 000. Знайдіть ступінь операційного левериджу DOL за цього обсягу продажів.
Q = 750p = €57v = €45F = €6 000
DOL =
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €60 за одиницю, змінні витрати — €45 на одиницю, постійні — €22 500 на рік. Запланований продаж — 1 800 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €22 500p = €60v = €45план = 1 800
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 8546 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,04)8 − 1)/0,04 = 9,214
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 6 000·9,214·1,04 = €57 496,77
Відповідь
FV = €57 496,77
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −20000 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 23 000/(0,11 − 0,01) = 230 000,00
NPV
NPV = 230 000,00 − 250 000 = −€20 000,00
Відповідь
NPV = −€20 000,00
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 5,484 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 11 500 − 23 000 = −11 500
ΔCF2 = 18 000 − 15 000 = 3 000
ΔCF3 = 25 000 − 9 500 = 15 500
IRR різниці
NPVΔ(5%) = 158,19
NPVΔ(6%) = −164,97
r* = 5,484%
Відповідь
r* = 5,484%
Перевірка: при 5,484% обидві NPV дорівнюють €3 379,00.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 920,3 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,03, N = 22
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,5219)/0,03 = €398,42
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5219 = €521,89
Ціна
P = €920,32
Відповідь
P = €920,32
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 5,981 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 070 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(5%) = €1 106,38, P(6%) = €1 069,30
YTM = 5,981%
Відповідь
YTM = 5,981%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,89 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·13% + 0,1429·7%·(1 − 0,25) = 11,89%
Відповідь
WACC = 11,89%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,396 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 4 000 000·€11,50 = €46 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 1,5·7% = 13%
Ваги
V = €84 400 000, E/V = 0,545, D/V = 0,455
WACC
WACC = 0,545·13% + 0,455·4%·(1 − 0,28) = 8,396%
Відповідь
WACC = 8,396%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: DOL = 3
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.
Сумарний маржинальний дохід
CM = 750·(57 − 45) = €9 000
Операційний прибуток
Π = 9 000 − 6 000 = €3 000
DOL
DOL = 9 000/3 000 = 3
Відповідь
DOL = 3
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: MS = 16,67 %
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).