У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 5 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0003% / 12n = 5
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €20 0004,8% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Він приносить €13 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 3 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €13 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €80 000 приносить €31 500 наприкінці кожного року протягом 3 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €80 000CF = €31 500n = 3
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 9 років і продається за €1 155. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 9P = €1 155
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 7,36%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Акції компанії мають бету 1,5 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1. Ставка податку 28%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €30 000 на рік і змінні витрати €12 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €33 000 на рік і змінні витрати €9 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €30 000vA = €12FB = €33 000vB = €9
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 500 одиниць на місяць по €23 зі змінними витратами €20 на одиницю й постійними витратами €3 600 на місяць. Змінні витрати зростають на €1 на одиницю, а ціна не змінюється. Скільки одиниць Q тепер треба продавати на місяць, щоб зберегти той самий прибуток?
Q = 1 500p = €23v = €20 → €21F = €3 600
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 34435 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,162 = €34 434,76
Відповідь
PV = €34 434,76
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 458,8 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8256
A = 20 000·0,004/(1 − 0,8256) = €458,78
Відповідь
A = €458,78
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 16667 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 13 000/(0,09 − 0,03) = 216 666,67
NPV
NPV = 216 666,67 − 200 000 = €16 666,67
Відповідь
NPV = €16 666,67
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 8,815 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−3)/i = 80 000/31 500 = 2,54
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 8%: 2,577
i = 9%: 2,531
IRR = 8,815%
Відповідь
IRR = 8,815%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 784,7 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, i = 0,025, N = 18
Теперішня вартість купонів
€10,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €143,53
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6412 = €641,17
Ціна
P = €784,70
Відповідь
P = €784,70
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 3,008 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 155 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35
YTM = 3,008%
Відповідь
YTM = 3,008%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,994 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
Частка боргу у WACC
0,1429·4,5%·(1 − 0,21) = 0,5079%
Вартість власного капіталу
re = (7,36% − 0,5079%)/0,8571 = 7,994%
Відповідь
re = 7,994%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 16,62 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,5/(1 + 0,72·0,25) = 1,271
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,271·(1 + 0,72·1) = 2,186
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 2,186·6% = 16,62%
Відповідь
re = 16,62%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 1000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
30 000 + 12Q = 33 000 + 9Q
Знайдіть Q
Q = (33 000 − 30 000)/(12 − 9) = 1 000
Відповідь
Q = 1 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 2250 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).