У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 9 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0004% / 4n = 9
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €5 000 під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €75. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €5 000A = €752,4% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €13 000, €8 000, €13 000, €8 500 наприкінці років з 1 по 4. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €5 500, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €15 000 і приносить €4 500, €6 000, €8 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 3%n = 12
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 6%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 7%n = 6YTM = 6%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €15 000 000 і вартістю власного капіталу 14%. Її борг складається з 8 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 4%, 12 років до погашення), кожна з яких торгується за €954. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Компанія продає 2 400 одиниць по €12. Змінні витрати €6 на одиницю, постійні витрати €7 200. Знайдіть ступінь операційного левериджу DOL за цього обсягу продажів.
Q = 2 400p = €12v = €6F = €7 200
DOL =
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 280 одиниць по €49 зі змінними витратами €45 на одиницю й постійними витратами €3 200. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зменшиться на 15 %?
Q = 1 280p = €49v = €45F = €3 200%ΔQ = −15%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 13978 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·9 = 36
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,431 = €13 978,50
Відповідь
PV = €13 978,50
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 72 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,002/75 = 0,8667
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8667)/ln(1,002) = 71,62
Округлення вгору до повних платежів
Після 71 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 72
Відповідь
N = 72 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,311 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 13 000/1,1 = 11 818,18 → Σ = 11 818,18
рік 2: 8 000/1,21 = 6 611,57 → Σ = 18 429,75
рік 3: 13 000/1,331 = 9 767,09 → Σ = 28 196,84
рік 4: 8 500/1,464 = 5 805,61 → Σ = 34 002,46
Частка останнього року
DPB = 3 + 1 803,16/5 805,61 = 3,311
Відповідь
DPB = 3,311 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,692 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 9,093 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 500 − 5 500 = −1 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
IRR різниці
NPVΔ(9%) = 12,94
NPVΔ(10%) = −123,97
r* = 9,093%
Відповідь
r* = 9,093%
Перевірка: при 9,093% обидві NPV дорівнюють €328,08.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1501 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,015, N = 24
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €801,22
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6995 = €699,54
Ціна
P = €1 500,76
Відповідь
P = €1 500,76
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 5,124 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 70/1,06 = 66,04, t·PV = 66,04
t = 2: 70/1,124 = 62,30, t·PV = 124,60
t = 3: 70/1,191 = 58,77, t·PV = 176,32
t = 4: 70/1,262 = 55,45, t·PV = 221,79
t = 5: 70/1,338 = 52,31, t·PV = 261,54
t = 6: 1070/1,419 = 754,31, t·PV = 4 525,85
Дюрація
P = 1 049,17
D = 5 376,13/1 049,17 = 5,124
Відповідь
D = 5,124 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 12,06 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·14% + 0,2308·7%·(1 − 0,2) = 12,06%
Відповідь
WACC = 12,06%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,42 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.
Сумарний маржинальний дохід
CM = 2 400·(12 − 6) = €14 400
Операційний прибуток
Π = 14 400 − 7 200 = €7 200
DOL
DOL = 14 400/7 200 = 2
Відповідь
DOL = 2
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = −40 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.