У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 15 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €5 000i = 6%n = 15
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €5 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €75. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €5 000A = €757,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €11 000 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €15 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €60 000CF = €11 000S = €15 000n = 8r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €15 000, €11 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 8%n = 6
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 7 років і продається за €945. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 7P = €945
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €34,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 7%T = 30%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар можна виготовляти двома способами. Метод A має постійні витрати €20 000 на рік і змінні витрати €15 на одиницю. Метод B, більш автоматизований, має постійні витрати €32 000 на рік і змінні витрати €12 на одиницю. За якого річного обсягу Q обидва методи коштують однаково?
FA = €20 000vA = €15FB = €32 000vB = €12
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 1 600 одиниць по €33 зі змінними витратами €18 на одиницю й постійними витратами €15 000. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 10 %?
Q = 1 600p = €33v = €18F = €15 000%ΔQ = +10%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 48561 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4173)/0,06 = 9,712
Теперішня вартість
PV = 5 000·9,712 = €48 561,24
Відповідь
PV = €48 561,24
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 86 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,006/75 = 0,6
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,6)/ln(1,006) = 85,39
Округлення вгору до повних платежів
Після 85 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 86
Відповідь
N = 86 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 11317 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
11 000·5,747 = 63 213,03
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
15 000/1,851 = 8 104,03
NPV
NPV = −60 000 + 63 213,03 + 8 104,03 = €11 317,06
Відповідь
NPV = €11 317,06
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 20,6 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 138,89
NPV(25%) = −960,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 20 + 5·138,89/(138,89 − (−960,00)) = 20,63%
точно: NPV(20,6%) = 0 → IRR = 20,6%
Відповідь
IRR = 20,6%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 859,2 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,04, N = 12
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €234,63
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6246 = €624,60
Ціна
P = €859,22
Відповідь
P = €859,22
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,021 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€945 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(7%) = €946,11, P(8%) = €895,87
YTM = 7,021%
Відповідь
YTM = 7,021%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,752 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 500 000·€34,00 = €85 000 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 0,9·5% = 8%
Ваги
V = €105 400 000, E/V = 0,8065, D/V = 0,1935
WACC
WACC = 0,8065·8% + 0,1935·7%·(1 − 0,3) = 7,4%
Відповідь
WACC = 7,4%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 4000 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Однакові сукупні витрати
20 000 + 15Q = 32 000 + 12Q
Знайдіть Q
Q = (32 000 − 20 000)/(15 − 12) = 4 000
Відповідь
Q = 4 000 од.
Нижче від цього обсягу дешевший метод A; вище — автоматизований метод B.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = 26,67 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.