У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 4 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 5 років.
PV = €2 0004% / 12n = 5
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €12 000 під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €375. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €12 000A = €3755,4% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €50 000, служить 5 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €50 000M = €3 000n = 5r = 6%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €40 000 приносить €9 000 наприкінці кожного року протягом 6 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €40 000CF = €9 000n = 6
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 9 років. Її дохідність до погашення змінюється з 9% до 8,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 4,5%n = 9y1 = 9%y2 = 8,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €965 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 4,1 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 100 базисних пунктів.
P0 = €965y = 7%D = 4,1Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,75. Вартість власного капіталу 12%, вартість боргу до оподаткування 3,5%, а ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,75re = 12%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 5 000 000 акцій по €15,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 28%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 8,5%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €65 за одиницю при змінних витратах €45 на одиницю. Постійні витрати — €24 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €12 000?
F = €24 000p = €65v = €45прибуток = €12 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €10 за одиницю, змінні витрати — €4 на одиницю, постійні — €6 000 на рік. Запланований продаж — 1 200 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €6 000p = €10v = €4план = 1 200
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 2442 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0045/375 = 0,856
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,856)/ln(1,004) = 34,63
Округлення вгору до повних платежів
Після 34 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 35
Відповідь
N = 35 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 14870 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,06−5)/0,06 = 4,212
Ціна придбання, перерахована на рік
50 000/4,212 = 11 869,82
EAC
EAC = 11 869,82 + 3 000 = €14 869,82
Відповідь
EAC = €14 869,82
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 9,312 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−6)/i = 40 000/9 000 = 4,444
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 9%: 4,486
i = 10%: 4,355
IRR = 9,312%
Відповідь
IRR = 9,312%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 25,02 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 4,1/1,07 = 3,832
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −3,832·(0,01) = −3,832%
P ≈ 965·(1 − 0,03832) = €928,02
Відповідь
P = €928,02
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,982 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).