У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €5 000 під 2 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 7 років.
PV = €5 000r = 2%t = 7
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 8? Знайдіть залишок боргу B.
P = €300 0003% / 12N = 300k = 96
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €5 000, €7 000, €8 000, €10 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €5 500, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 000, €5 000, €6 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 3,5%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 040 з дохідністю до погашення 4% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 5,4 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 100 базисних пунктів.
P0 = €1 040y = 4%D = 5,4Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Її WACC 5,33%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 20%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Акції компанії мають бету 0,9 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,75. Ставка податку 25,8%, безризикова ставка 2%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Товар продається за €24 зі змінними витратами €12 на одиницю. Постійні витрати €30 000 на місяць, а прибуток оподатковується за ставкою 20 %. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб заробити €12 000 після сплати податку?
p = €24v = €12F = €30 000T = 20%прибуток після оподаткування = €12 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає два товари. Товар A продається за €15 зі змінними витратами €10; товар B — за €38 зі змінними витратами €30. Вони продаються в сталій пропорції: 3 одиниць A на кожні 2 одиниць B. Постійні витрати €31 000 на місяць. Знайдіть загальну кількість одиниць Q (A і B разом), потрібну для беззбитковості.
pA = €15, vA = €10pB = €38, vB = €30A : B = 3 : 2F = €31 000
Q = од.
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 5751 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,02·7 = 0,14
e0,14 = 1,15
Майбутня вартість
FV = 5 000·1,15 = €5 751,37
Відповідь
FV = €5 751,37
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 227122 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 300 − 96 = 204
B = 1423·(1 − (1 + 0,0025)−204)/0,0025 = €227 121,87
Відповідь
B = €227 121,87
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 4946 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 5 000/1,07 = 4 672,90
CF2/(1 + 0,07)2 = 7 000/1,145 = 6 114,07
CF3/(1 + 0,07)3 = 8 000/1,225 = 6 530,38
CF4/(1 + 0,07)4 = 10 000/1,311 = 7 628,95
Додайте
NPV = €4 946,30
Відповідь
NPV = €4 946,30
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,802 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Відповідь
r* = 4,802%
Перевірка: при 4,802% обидві NPV дорівнюють €1 061,73.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1031 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,0175, N = 14
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,7844)/0,0175 = €246,44
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7844 = €784,36
Ціна
P = €1 030,81
Відповідь
P = €1 030,81
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1094 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 5,4/1,04 = 5,192
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −5,192·(−0,01) = 5,192%
P ≈ 1040·(1 + 0,05192) = €1 094,00
Відповідь
P = €1 094,00
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 8,992 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
Частка боргу у WACC
0,5556·3%·(1 − 0,2) = 1,333%
Вартість власного капіталу
re = (5,33% − 1,333%)/0,4444 = 8,992%
Відповідь
re = 8,992%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,908 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 0,9/(1 + 0,742·0,25) = 0,7592
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,7592·(1 + 0,742·0,75) = 1,182
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 1,182·5% = 7,908%
Відповідь
re = 7,908%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 3750 од.
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Потрібний прибуток до оподаткування
12 000/(1 − 0,2) = €15 000
Потрібна кількість одиниць
Q = (30 000 + 15 000)/12 = 3 750
Відповідь
Q = 3 750 од.
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: Q = 5000 од.
Беззбитковість за структури продажів: коли товари продаються в сталій пропорції, використовуйте середньозважений маржинальний дохід: зважте p − v кожного товару за його часткою в кількості одиниць. Кількість одиниць беззбитковості = F/(середньозважений маржинальний дохід), а потім її знову розподіляють у пропорції структури.