У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 5 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €8 000i = 5%n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €25 0005,4% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €6 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 3 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €25 000 приносить €7 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €25 000CF = €7 000n = 4
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 10 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4,5%), коли її дохідність до погашення становить 5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 4,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 4,5%n = 10y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 7 років і продається за €950. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 7P = €950
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,4. Вартість власного капіталу 11%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,4re = 11%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €37,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 9%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Товар продається за €13 за одиницю при змінних витратах €8 на одиницю. Постійні витрати — €10 000 на місяць. Скільки одиниць Q треба продавати на місяць, щоб отримати прибуток €2 000?
F = €10 000p = €13v = €8прибуток = €2 000
Q = од.
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Товар продається за €37 за одиницю, змінні витрати — €25 на одиницю, постійні — €9 600 на рік. Запланований продаж — 1 440 од. Знайдіть запас фінансової міцності MS у відсотках від запланованого продажу.
F = €9 600p = €37v = €25план = 1 440
MS = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 28368 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,8227)/0,05 = 3,546
Теперішня вартість
PV = 8 000·3,546 = €28 367,60
Відповідь
PV = €28 367,60
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 753,8 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8508
A = 25 000·0,0045/(1 − 0,8508) = €753,77
Відповідь
A = €753,77
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 20000 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 6 000/(0,08 − 0,03) = 120 000,00
NPV
NPV = 120 000,00 − 100 000 = €20 000,00
Відповідь
NPV = €20 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 4,692 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−4)/i = 25 000/7 000 = 3,571
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 4%: 3,63
i = 5%: 3,546
IRR = 4,692%
Відповідь
IRR = 4,692%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 8,697 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €949,67
YTM = 8,993%
Відповідь
YTM = 8,993%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,229 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·11% + 0,2857·6%·(1 − 0,2) = 9,229%
Відповідь
WACC = 9,229%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,203 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).
Витрати–обсяг–прибуток: кожна продана одиниця дає маржинальний дохід: ціну мінус змінні витрати на одиницю. Прибуток = Q·(p − v) − F, де F — постійні витрати. У точці беззбитковості прибуток нульовий, тож Q = F/(p − v).