У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
Аналіз беззбитковості
Маржинальний дохід
CM = p − v
Обсяг беззбитковості
QBE = FC/(p − v)
Цільовий прибуток
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибуток
π = (p − v)·Q − FC
Запас фінансової міцності
(Q − QBE)/Q
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €10 000 під 3 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 11 років.
PV = €10 000r = 3%t = 11
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €8 0003% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €21 000, €10 000, €18 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €20 000, €32 000, €37 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 20 000CF2 = 32 000CF3 = 37 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 3%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 4 років і продається за €1 035. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 4P = €1 035
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,8. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 5,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,8D/E = 0,25T = 25%rf = 3%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Аналіз беззбитковостіСередня
Компанія продає 3 750 одиниць по €20. Змінні витрати €15 на одиницю, постійні витрати €7 500. Знайдіть ступінь операційного левериджу DOL за цього обсягу продажів.
Q = 3 750p = €20v = €15F = €7 500
DOL =
10.Аналіз беззбитковостіСкладна
Компанія продає 3 750 одиниць по €21 зі змінними витратами €18 на одиницю й постійними витратами €4 500. На скільки відсотків %ΔΠ зміниться операційний прибуток, якщо обсяг продажів зросте на 20 %?
Q = 3 750p = €21v = €18F = €4 500%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 13910 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,03·11 = 0,33
e0,33 = 1,391
Майбутня вартість
FV = 10 000·1,391 = €13 909,68
Відповідь
FV = €13 909,68
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 177,1 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 8 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €177,07
Відповідь
A = €177,07
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −7342 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 21 000/1,15 = 18 260,87
CF2/(1 + 0,15)2 = 10 000/1,322 = 7 561,44
CF3/(1 + 0,15)3 = 18 000/1,521 = 11 835,29
Додайте
NPV = €−7 342,40
Відповідь
NPV = €−7 342,40
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 31,77 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 1 388,26
NPV(35%) = −2 385,31
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,015, N = 14
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,8118)/0,015 = €250,87
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8118 = €811,85
Ціна
P = €1 062,72
Відповідь
P = €1 062,72
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 3,057 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 035 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 037,17, P(4%) = €1 000,00
YTM = 3,057%
Відповідь
YTM = 3,057%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,4 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·9% + 0,6667·4,5%·(1 − 0,2) = 5,4%
Відповідь
WACC = 5,4%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 8,225 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,8·(1 + 0,75·0,25) = 0,95
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 0,95·5,5% = 8,225%
Відповідь
re = 8,225%
9.Аналіз беззбитковості
Відповідь: DOL = 1,667
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.
Сумарний маржинальний дохід
CM = 3 750·(20 − 15) = €18 750
Операційний прибуток
Π = 18 750 − 7 500 = €11 250
DOL
DOL = 18 750/11 250 = 1,667
Відповідь
DOL = 1,667
10.Аналіз беззбитковості
Відповідь: %ΔΠ = 33,33 %
Операційний леверидж: через постійні витрати прибуток реагує сильніше, ніж продажі. Ступінь операційного левериджу DOL = маржинальний дохід/операційний прибуток показує, що зміна продажів на 1 % змінює прибуток на DOL %. Він дуже високий одразу над точкою беззбитковості й зменшується зі зростанням продажів.